422:   ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ  ΔΟΜΕΣ   Ι

Ακαδημαϊκό Έτος  2024 - 2025

Διδάσκων: Α. Μπεληγιάννης
   Δευτέρα: 17 - 20,  Αμφιθέατρο 3
                                                                                                                            Τρίτη:  13 - 14,  Αμφιθέατρο 3  (Ασκήσεις)
     Πέμπτη:  9 - 11,  Αμφιθέατρο 3
  •   Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Μ. Μαλιάκας,  Ο. Ταλλέλη, Ι. Εμμανουήλ:  "Μια Εισαγωγή στην 'Aλγεβρα", Εκδόσεις Σοφία, (2012)  -->  Ιστοσελίδα Συγγράμματος
  1. [19/2/2025]:  Η έναρξη της διδασκαλίας του μαθήματος  πραγματοποιήθηκε την Δευτέρα 17 Φεβρουαρίου 2025, ώρα: 17:00 στο Αμφιθέατρο 3.
  2.   [5/3/2025]:  Έχει προστεθεί στο μάθημα μια ώρα διδασκαλίας επίλυσης ασκήσεων η οποία πραγματοποιείται στο Αμφιθέατρο 3 κάθε Τρίτη, 13:00-14:00. 
 
Βλέπε τους σχετικούς ιστότοπους:

και το εξαιρετικό βιβλίο:

Το μάθημα αποσκοπεί στη μελέτη αλγεβρικών ιδιοτήτων συνόλων τα οποία  είναι εφοδιασμένα με μια ή περισσότερες  (εσωτερικές) πράξεις. Συνήθως τέτοιου είδους μαθηματικά αντικείμενα τα ονομάζουμε αλγεβρικές δομές.   Θα ασχοληθούμε κυρίως με δύο εκ των θεμελιωδέστερων  δομών στις οποίες βασίζεται η σύγχρονη Άλγεβρα και οι οποίες έχουν σημαντικές εφαρμογές σε πολλούς κλάδων των Μαθηματικών και γενικότερα των Επιστημών:
  1. Την αλγεβρική δομή της ομάδας. Το πρότυπο παράδειγμα ομάδας είναι η ομάδα μετατάξεων (μεταθέσεων) ενός, συνήθως πεπερασμένου, συνόλου. Πρόκειται για το σύνολο των ένα προς ένα και επί απεικονίσεων από ένα σύνολο  στον εαυτό του εφοδιασμένο με την  πράξη τής σύνθεσης των απεικονίσεων.

  2. Την αλγεβρική δομή του δακτυλίου. Το πρότυπο παράδειγμα δακτυλίου είναι το σύνολο των ακεραίων αριθμών εφοδιασμένο με τις πράξεις τής πρόσθεσης και τού πολλαπλασιασμού ακεραίων αριθμών.
Θα διατυπώσουμε διάφορα θεωρήματα που αφορούν την δομή και τις βασικές ιδιότητες ομάδων και δακτυλίων με έμφαση στην έννοια τού ισομορφισμού ομάδων ή δακτυλίων. Από τη σκοπιά τις Άλγεβρας δύο αλγεβρικές δομές που είναι ισόμορφες έχουν ακριβώς τις ίδιες αλγεβρικές ιδιότητες. Επομένως ως άμεση  συνέπεια έχουμε ότι τα συμπεράσματα τα οποία ισχύουν για μια αλγεβρική δομή  ισχύουν και για οποιαδήποτε ισόμορφή της.  Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή και την φοιτήτρια  να έχουν κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα, να έχουν κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα,  να είναι σε θέση να τα εφαρμόζουν  για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων και, και τέλος να μπορούν να εκτελούν ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς.
Ασκήσεις Προς Λύση      
Προτεινόμενες Ασκήσεις Προς Λύση
1.  [28/2/2025]   -->    1o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση   1.  [28/2/2025]    -->    1ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση
  2.  [14/3/2025]   -->    2o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση   2.  [14/3/2025]     -->   2ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση
  3.  [21/3/2025]   -->    3ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση   3.  [21/3/2025]     -->   3ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση
  4.  [28/3/2025]   -->    4ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση   4.  [28/3/2025]     -->    4ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση
  5.    [4/4/2025]   -->    5ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση   5.    [4/4/2025]     -->     5ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση
  6.  [-/-/2025]   -->    6ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση   6.      [-/-/2025]      -->    6ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση
  7.  [-/-/2025]   -->    7ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση   7.      [-/-/2025]      -->    7ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση
  8.  [-/-/2025]   -->    8ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση   8.      [-/-/2025]       -->   8ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση
  9.  [-/-/2025]   -->    9ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση   9.      [-/-/2025]       -->   9ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση
10.  [-/-/2025]   -->  10ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση  10.      [-/-/2025]     -->   10ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση
11.   [-/-/2025]   -->  11ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση  11.       [-/-/2025]    -->    11ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση

  1.  [28/2/2025]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 1 
  2.  [14/3/2025]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 2
  3.  [21/3/2025]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 3
  4.  [28/3/2025]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 4
  5.    [4/4/2025]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 5  
  6.      [-/-/2025]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 6     
  7.      [-/-/2025]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 7
  8.      [-/-/2025]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 8
  9.      [-/-/2025]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 9
  10.      [-/-/2025]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 10   
  11.      [-/-/2025]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 11
                                                                                      Πέμπτη 26 Ιουνίου 2025, ώρα: 9 -12                                                                
  1. Επενθυμίσεις: Σύνολα, Απεικονίσεις, Σχέσεις Ισοδυναμίας, Διαμερίσεις, Πράξεις.
  2. Ομάδες - Ομάδες Μετατάξεων.
  3. Κυκλικές Ομάδες - Γεννήτορες.
  4. Πλευρικές Κλάσεις - Θεώρημα Lagrange.
  5. Ομομορφισμοί Ομάδων - Ομάδες Πηλίκα.
  6. Δακτύλιοι και Σώματα - Ακέραιες Περιοχές.
  7. Θεωρήματα Fermat και Euler.
  8. Δακτύλιοι Πολυωνύμων - Ομομορφισμοί Δακτυλίων.
  9. Δακτύλιοι Πηλίκα - Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη.
  1. 1η   Εβδομάδα:  Ιστορικά στοιχεία και πληροφοριακό υλικό σχετικά με το μάθημα. Σχέσεις και απεικονίσεις.  Σχέσεις ισοδυναμίας και διαμερίσεις επί συνόλων. Παραδείγματα.
  2. 2η   Εβδομάδα:  Εσωτερικές διμελείς πράξεις επί συνόλων. Επαγόμενες πράξεις και πράξεις συμβιβαστές με σχέσεις ισοδυναμίας. Βασικές ιδιότητες πράξεων. Εισαγωγή στην έννοια της ομάδας.
  3. 3η   Εβδομάδα:  Παραδείγματα ομάδων.  Στοιχειώδεις ιδιότητες ομάδων. Πίνακας Cayley μιας ομάδας. Ομάδες πινάκων και ομάδες μεταθέσεων. Δύναμη στοιχείου ομάδας. Κυκλικές υποομάδες.
  4. 4η   Εβδομάδα:  Η έννοια της υποομάδας. Παραδείγματα υποομάδων και βασικές ιδιότητες υποομάδων. Τάξη ομάδας και τάξη στοιχείου σε μια ομάδα. Βασικές ιδιότητες τάξης στοιχείου ομάδας και παραδείγματα.
  5. 5η   Εβδομάδα:  Ταξινόμηση υποομάδων κυκλικών ομάδων (άπειρων και πεπερασμένων). Διαγράμματα Hasse υποομάδων κυκλικών Ομάδων. Ισομορφισμοί Ομάδων. Βασικές Ιδιότητες ισομορφισμών. Παραδείγματα Ισομορφισμών.
  6. 6η   Εβδομάδα:  Το Θεώρημα του Lagrange και οι εφαρμογές του.  Τα Θεωρήματα  Euler και Fermat. Διεδρικές ομάδες και η ομάδα των τετρανίων. Εισαγωγή στην έννοια της κανονικής υποομάδας.
  7. 7η   Εβδομάδα: Κανονικές υποομάδες. Η ομάδα πηλίκο μιας ομάδας ως προς μια κανονική υποομάδα. Ομομορφισμοί ομάδων. Βασικές ιδιότητες και παραδείγματα.
  8. 8η   Εβδομάδα:  Τα Θεωρήματα Ισομορφισμών ομάδων. Ταξινόμηση ομάδων μικρής τάξης και κυκλικών ομάδων.  Το Θεώρημα  του Cayley. Εφαρμογές.
  9. 9η   Εβδομάδα: Ομάδες μεταθέσεων και η  συμμετρική ομάδα. Κύκλοι και ανάλυση μετάθεσης σε γινόμενο ξένων κύκλων. Αντιμεταθέσεις.  Άρτιες και Περιττές μεταθέσεις. Πρόσημο μετάθεσης. Η εναλλάσσουσα ομάδα.
  10. 10η Εβδομάδα:  Εισαγωγή στην έννοια του δακτυλίου. Βασικές ιδιότητες,  παραδείγματα, και κατασκευές δακτυλίων.  Αντιστρέψιμα στοιχεία και διαιρέτες του μηδενός.
  11. 11η Εβδομάδα: Τύποι δακτυλίων: δακτύλιοι διαίρεσης, σώματα και ακέραιες περιοχές. Χαρακτηριστική δακτυλίου. Δακτύλιοι πολυωνύμων.  Ομομορφισμοί δακτυλίων.
  12. 12η Εβδομάδα:  Ιδεώδη και Δακτύλιοι πηλίκα. Τα Θεωρήματα Ισομορφισμών για δακτυλίους. Το Θεώρημα Cayley για δακτυλίους.
  13. 13η Εβδομάδα: Περιοχές κυρίων ιδεωδών. Πρώτα και μέγιστα (μεγιστοτικά) ιδεώδη. Εφαρμογές.
  1.  Σχετικά Βιβλία στη Βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών                   
   2.   Χρήσιμοι Σύνδεσμοι 

(Ελεύθερα Βιβλία και Σημειώσεις Αφηρημένης Άλγεβρας στο διαδίκτυο, σε διάφορα επίπεδα δυσκολίας)
  P.M. Cohn: ''Basic Algebra'',  Springer, (2003).   1.  http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/
  I. N. Herstein: ''Abstract Algebra'', John Wiley and Sons, (1999).   2.  http://www.numbertheory.org/book/
  I. N. Herstein: ''Topics in Algebra'', John Wiley and Sons, (1975).   3.  http://www.math.umn.edu/~garrett/m/intro_algebra/notes.pdf
  E. Vinberg: ''A Course in Algebra'', AMS, (2003).   4.  http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/study_guide/contents.html
  S. Lang: ''Algebra'', Springer, (2002).   5.  http://www.math.uiowa.edu/%7Egoodman/algebrabook.dir/algebrabook.html
  W. Deskins: ''Abstract Algebra'', Dover, (1996).   6.  http://www.math.miami.edu/~ec/book/
  J. Smith: ''An Introduction to Abstract Algebra'', Chapman and Hall, (2009).   7.  http://shell.cas.usf.edu/~wclark/Elem_abs_alg.pdf
  Th. Hungerford: ''Abstract Algebra'', Cengage Learning, (1997).
  8.  http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/lnlafolder/lnla.html
  J. Beachy: ''Abstract Algebra'', Waveland Press, (2005).   9.  http://abstract.ups.edu/download.html
  Ch. Pinter: ''A Book of Abstract Algebra'', Dover, (2010).  10. http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra.html
  M. Marcus: ''Introduction to Modern Algebra", Marcel Dekker, (1978).  11. http://www.math.purdue.edu/~dvb/algebra/algebra.pdf


Τελευταία Τροποποίηση:  28 Μαρτίου 2025