521:   ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ  ΔΟΜΕΣ   Ι

Ακαδημαϊκό Έτος  2012 - 2013

Ιστοσελίδα Μαθήματος:   http://users.uoi.gr/abeligia/AlgebraicStructuresI/ASI2012/ASI2012.html

Γενικές Πληροφορίες


                                                                 Τμήμα Α'            
                                                     Τμήμα Β'                            
  • Τρίτη:  09 - 11:  Αίθουσα 011, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Τρίτη:  09 - 11:  Αίθουσα 012, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Τετάρτη:  13 - 15:  Αίθουσα 011, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Ασκήσεις.
  • Τετάρτη:  13 - 15:  Αίθουσα 012, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Ασκήσεις.
  • Παρασκευή:  10 - 12:  Αίθουσα 011, (ισόγειο ΤμήματοςΜαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Παρασκευή:  10 - 12:  Αίθουσα 012, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.


Ανακοινώσεις   
  1. [ 1 Οκτωβρίου 2012 ]:   Η έναρξη της διδασκαλίας του μαθήματος θα πραγματοποιηθεί την  Τρίτη 2 Οκτωβρίου 2012,  ώρα:  09:00 - 12:00.
  2. [ 24 Οκτωβρίου 2012 ]:  Αναφορικά με την διδασκαλία του μαθήματος κατά το προσεχές διάστημα: http://www.math.uoi.gr/GR/news/docs/521.pdf
  3. [ 13 Νοεμβρίου 2012 ]:  Από την Τρίτη 13 Νοεμβρίου,  το πρόγραμμα διδασκαλίας του μαθήματος επιστρέφει στον αρχικό του σχεδιασμό, δηλαδή:    
    Τρίτη:  09-11
    Αίθουσα 011  (Τμήμα Α)
    Αίθουσα 012  (Τμήμα Β)
    		 Τετάρτη: 13-15
    Αίθουσα 011  (Τμήμα Α)
    Αίθουσα 012  (Τμήμα Β)
    		  Παρασκευή: 10-12
    Αίθουσα 011  (Τμήμα Α)
    Αίθουσα 012  (Τμήμα Β)
  4. [ 15 Φεβρουαρίου 2012 ]: Αναρτήθηκε το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος  σε ένα αρχείο 320 σελίδων.

Ιστορικά Στοιχεία


Βλέπε τους σχετικούς ιστότοπους:
Σκοποί του Μαθήματος

Το μάθημα αποσκοπεί στη μελέτη αλγεβρικών ιδιοτήτων συνόλων τα οποία  είναι εφοδιασμένα με μια ή περισσότερες  (εσωτερικές) πράξεις. Συνήθως τέτοιου είδους μαθηματικά αντικείμενα τα ονομάζουμε αλγεβρικές δομές.  Θα ασχοληθούμε κυρίως με δύο είδη αλγεβρικών δομών:
  1. Τις ομάδες. Το πρότυπο παράδειγμα ομάδας είναι η ομάδα μετατάξεων (μεταθέσεων) ενός, συνήθως πεπερασμένου, συνόλου. Πρόκειται για το σύνολο των ένα προς ένα και επί απεικονίσεων από ένα σύνολο  στον εαυτό του εφοδιασμένο με την  πράξη τής σύνθεσης των απεικονίσεων.
  2. Τους δακτυλίους. Το πρότυπο παράδειγμα δακτυλίου είναι το σύνολο των ακεραίων αριθμών εφοδιασμένο με τις πράξεις τής πρόσθεσης και τού πολλαπλασιασμού ακεραίων αριθμών.
Θα διατυπώσουμε διάφορα θεωρήματα που αφορούν την δομή και τις βασικές ιδιότητες ομάδων και δακτυλίων με έμφαση στην έννοια τού ισομορφισμού ομάδων ή δακτυλίων. Από τη σκοπιά τις Άλγεβρας δύο αλγεβρικές δομές που είναι ισόμορφες έχουν ακριβώς τις ίδιες αλγεβρικές ιδιότητες. Επομένως ως άμεση  συνέπεια έχουμε ότι τα συμπεράσματα τα οποία ισχύουν για μια αλγεβρική δομή  ισχύουν και για οποιαδήποτε ισόμορφή της.  Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα,  να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων και , και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς.
Φυλλάδια Ασκήσεων
                                Φυλλάδια Ασκήσεων                                                                                                 
                     Προτεινόμενες Ασκήσεις Προς Λύση                            
1.     [10/10/2012]        1o Φυλλάδιο Ασκήσεων                                                                               
1.   [10/10/2012]       1o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση                                                  
2.     [17/10/2012]        2o Φυλλάδιο Ασκήσεων 2.   [17/10/2012]       2o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
3.     [26/10/2012]        3o Φυλλάδιο Ασκήσεων 3.   [26/10/2012]       3o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
4.       [6/11/2012]        4o Φυλλάδιο Ασκήσεων 4.     [6/11/2012]       4o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
4.5   [14/11/2012]     4.5o Φυλλάδιο Ασκήσεων
5.     [16/11/2012]        5o Φυλλάδιο Ασκήσεων 5.    [16/11/2012]      5ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση
6.       [4/12/2012]        6o Φυλλάδιο Ασκήσεων 6.      [4/12/2012]      6ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση
7.     [12/12/2012]        7o Φυλλάδιο Ασκήσεων 7.    [12/12/2012]      7ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση
8.     [21/12/2012]        8o Φυλλάδιο Ασκήσεων 8.    [21/12/2012]      8ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση
9.       [11/1/2013]        9o Φυλλάδιο Ασκήσεων 9.      [11/1/2013]      9ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση
10.     [16/1/2013]      10o Φυλλάδιο Ασκήσεων 10.    [16/1/2013]    10ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση

Επίλυση Επιλεγμένων Ασκήσεων
  1. [18/10/2012]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  1
  2. [28/10/2012]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  2
  3.   [5/11/2012]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  3
  4. [13/11/2012]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  4
  5. [27/12/2012]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  4.5
  6. [26/11/2012]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  5
  7.   [6/12/2012]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  6
  8. [16/12/2012]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  7
  9. [27/12/2012]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  8
  10.   [21/1/2013]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  9 
  11.   [18/1/2013]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  10
Θεωρητικά Θέματα
  1. Θεωρητικά Θέματα 
Εκπαιδευτικό Υλικό Μαθήματος σε ένα αρχείο:

Ο ακόλουθος σύνδεσμος  περιέχει όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος συγκεντρωμένο σε ένα αρχείο.

Ύλη του Μαθήματος  (ανα Εβδομάδα Διδασκαλίας)
  1. Επενθυμίσεις: Σύνολα, Απεικονίσεις, Σχέσεις Ισοδυναμίας, Διαμερίσεις, Πράξεις.
  2. Ομάδες - Ομάδες Μετατάξεων.
  3. Κυκλικές Ομάδες - Γεννήτορες.
  4. Πλευρικές Κλάσεις - Θεώρημα Lagrange.
  5. Ομομορφισμοί Ομάδων - Ομάδες Πηλίκα.
  6. Δακτύλιοι και Σώματα - Ακέραιες Περιοχές.
  7. Θεωρήματα Fermat και Euler.
  8. Δακτύλιοι Πολυωνύμων - Ομομορφισμοί Δακτυλίων.
  9. Δακτύλιοι Πηλίκα - Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη.
  1. 1η    Εβδομάδα:  Εισαγωγή στις βασικές έννοιες και στους σκοπούς του μαθήματος. Ιστορική αναδρομή στην Κλασσική και Αφηρημένη Άλγεβρα. Υπενθυμίσεις από την Θεωρία Συνόλων και Απεικονίσεων. Σχέσεις Ισοδυναμίας και Διαμερίσεις συνόλων. Σχέσεις ισοδυναμίας οι οποίες επάγονται από  μια απεικόνιση.
  2. 2η Εβδομάδα: Πράξεις επί συνόλων. Παραδείγματα και βασικές ιδιότητες πράξεων. Ο πίνακας μιας πράξης. Πράξεις συμβιβαστές με σχέσεις ισοδυναμίας  Η έννοια της ομάδας. Παραδείγματα και στοιχειώδεις ιδιότητες.
  3. 3η Εβδομάδα: O πίνακας Cayley μιας πεπερασμένης ομάδας. Υποομάδες: Βασικές ιδιότητες και παραδείγματα.
  4. 4η Εβδομάδα:
  5. 5η Εβδομάδα:
  6. 6η Εβδομάδα:
  7. 7η Εβδομάδα:
  8. 8η Εβδομάδα:
  9. 9η Εβδομάδα:
  10. 10η Εβδομάδα:
  11. 11η Εβδομάδα:
  12. 12η Εβδομάδα:
  13. 13η Εβδομάδα:

Βιβλιογραφία και Χρήσιμοι Σύνδεσμοι


Σχετικά Βιβλία στη Βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών
 Χρήσιμοι Σύνδεσμοι 

(Ελεύθερα Βιβλία και Σημειώσεις Αφηρημένης Άλγεβρας, σε διάφορα επίπεδα δυσκολίας,
 στο Διαδίκτυο)                 
P.M. Cohn: ''Basic Algebra'',  Springer, (2003).                       
1. http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/
I. N. Herstein: ''Abstract Algebra'', John Wiley and Sons, (1999). 2. http://www.numbertheory.org/book/
I. N. Herstein: ''Topics in Algebra'', John Wiley and Sons, (1975). 3. http://www.math.umn.edu/~garrett/m/intro_algebra/notes.pdf
E. Vinberg: ''A Course in Algebra'', AMS, (2003). 4. http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/study_guide/contents.html
S. Lang: ''Algebra'', Springer, (2002). 5. http://www.math.uiowa.edu/%7Egoodman/algebrabook.dir/algebrabook.html
W. Deskins: ''Abstract Algebra'', Dover, (1996). 6. http://www.math.miami.edu/~ec/book/
J. Smith: ''An Introduction to Abstract Algebra'', Chapman and Hall, (2009). 7. http://shell.cas.usf.edu/~wclark/Elem_abs_alg.pdf
Th. Hungerford: ''Abstract Algebra'', Cengage Learning, (1997).  8. http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/lnlafolder/lnla.html
J. Beachy: ''Abstract Algebra'', Waveland Press, (2005).
9. http://abstract.ups.edu/download.html
Ch. Pinter: ''A Book of Abstract Algebra'', Dover, (2010).
 10. http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra.html
M. Marcus: ''Introduction to Modern Algebra", Marcel Dekker, (1978).
 		11. http://www.math.purdue.edu/~dvb/algebra/algebra.pdf


Τελευταία Τροποποίηση:   22  Ιανουαρίου  2013.