521:   ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ  ΔΟΜΕΣ   Ι

Ακαδημαϊκό Έτος  2013 - 2014

Ιστοσελίδα Μαθήματος:   http://users.uoi.gr/abeligia/AlgebraicStructuresI/ASI2013/ASI2013.html

Γενικές Πληροφορίες


                                                                 Τμήμα Α'            
                                                     Τμήμα Β'                            
  • Δευτέρα:  12 - 14:  Αίθουσα 010,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Δευτέρα:  12 - 14:  Αίθουσα 012,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Πέμπτη:  12 - 14:  Αίθουσα 010,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Πέμπτη:  12 - 14:  Αίθουσα 012,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Παρασκευή:  9 - 11:  Αίθουσα 010,  (ισόγειο ΤμήματοςΜαθηματικών)
    • Ασκήσεις.
  • Παρασκευή:  9 - 11:  Αίθουσα 012,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Ασκήσεις.


Ανακοινώσεις   
  1. [9/10/2013]:  Η έναρξη της διδασκαλίας του μαθήματος θα πραγματοποιηθεί την Δευτέρα 14 Οκτωβρίου 2013, ώρα: 12:00.
  2. [19/10/2013]:  Η διδασκαλία του μαθήματος την Δευτέρα 21 Οκτωβρίου 2013, ώρα  12:00-14:00, για το Τμήμα Β' και μόνο, αναβάλλεται. Η αναπλήρωση του μαθήματος θα γίνει την Τετάρτη 23 Οκτωβρίου, ώρα 10:00-12:00.
  3. [23/10/2013]:  Από την Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 και κάθε Παρασκευή, η διδασκαλία του μαθήματος  και για τα δύο τμήματα θα πραγματοποιείται τις ώρες 10:00 - 12:00.
  4. [6/11/2013]:  Από την Παρασκευή 8 Νοεμβρίου 2013 και κάθε Παρασκευή, η διδασκαλία του μαθήματος και για τα δύο τμήματα θα πραγματοποιείται τις ώρες 09:00 - 11:00.
  5. [10/12/2013]:  Από την Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 και κάθε Παρασκευή έως το τέλος των μαθημάτων, προστίθεται μια (1) ώρα διδασκαλίας ως εξής:  η διδασκαλία του μαθήματος κάθε Παρασκευή θα γίνεται 09:00-12:00 αντί 09:00-11:00 και για τα δύο τμήματα.
  6. [23/1/2013]:  Το Σάββατο 25 Ιανουαρίου, ώρα 15:00-17:00,  θα πραγματοποιηθεί επιπρόσθετη διδασκαλία, μόνο για το Τμήμα Β'.

Ιστορικά Στοιχεία


Βλέπε τους σχετικούς ιστότοπους:
Σκοποί του Μαθήματος

Το μάθημα αποσκοπεί στη μελέτη αλγεβρικών ιδιοτήτων συνόλων τα οποία  είναι εφοδιασμένα με μια ή περισσότερες  (εσωτερικές) πράξεις. Συνήθως τέτοιου είδους μαθηματικά αντικείμενα τα ονομάζουμε αλγεβρικές δομές.  Θα ασχοληθούμε κυρίως με δύο είδη αλγεβρικών δομών:
  1. Τις ομάδες. Το πρότυπο παράδειγμα ομάδας είναι η ομάδα μετατάξεων (μεταθέσεων) ενός, συνήθως πεπερασμένου, συνόλου. Πρόκειται για το σύνολο των ένα προς ένα και επί απεικονίσεων από ένα σύνολο  στον εαυτό του εφοδιασμένο με την  πράξη τής σύνθεσης των απεικονίσεων.
  2. Τους δακτυλίους. Το πρότυπο παράδειγμα δακτυλίου είναι το σύνολο των ακεραίων αριθμών εφοδιασμένο με τις πράξεις τής πρόσθεσης και τού πολλαπλασιασμού ακεραίων αριθμών.
Θα διατυπώσουμε διάφορα θεωρήματα που αφορούν την δομή και τις βασικές ιδιότητες ομάδων και δακτυλίων με έμφαση στην έννοια τού ισομορφισμού ομάδων ή δακτυλίων. Από τη σκοπιά τις Άλγεβρας δύο αλγεβρικές δομές που είναι ισόμορφες έχουν ακριβώς τις ίδιες αλγεβρικές ιδιότητες. Επομένως ως άμεση  συνέπεια έχουμε ότι τα συμπεράσματα τα οποία ισχύουν για μια αλγεβρική δομή  ισχύουν και για οποιαδήποτε ισόμορφή της.  Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα,  να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων και , και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς.
Φυλλάδια Ασκήσεων
                              Φυλλάδια  Ασκήσεων Προς Λύση                                                                                               Προτεινόμενες  Ασκήσεις  Προς  Λύση                            
1.  [25/10/2013]       1o Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση
 1.   [25/10/2013]       1o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση                                                  
2.    [1/11/2013]       2o Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση
 2.     [1/11/2013]       2o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
3.    [8/11/2013]       3o Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση 3.     [8/11/2013]       3o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
4.  [15/11/2013]       4o Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση 4.   [15/11/2013]       4o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
5.  [29/11/2013]       5o Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση 5.   [29/11/2013]       5ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση
6.    [6/12/2013]       6o Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση 6.     [6/12/2013]       6ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση
7.  [13/12/2013]       7o Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση 7.   [13/12/2013]       7ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση
8.  [20/12/2013]       8o Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση 8.   [20/12/2013]       8ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση
9.    [13/1/2014]       9o Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση 9.     [13/1/2014]       9ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση
10.  [17/1/2014]     10o Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση    10.   [17/1/2014]     10ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση
11.  [24/1/2014]     11o Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση
11.   [24/1/2014]      11ο Φυλλάδιο Προτεινομένων Ασκήσεων Προς Λύση

Επίλυση Επιλεγμένων Ασκήσεων
  1.  [26/10/2013]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  1
  2.    [3/11/2013]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  2
  3.    [9/11/2013]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  3
  4.  [15/11/2013]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  4
  5.    [1/12/2013]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  5
  6.    [8/12/2013]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  6
  7.  [15/12/2013]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  7
  8.  [21/12/2013]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  8
  9.    [13/1/2014]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  9
  10.    [17/1/2014]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  10 
  11.    [24/1/2014]   Φυλλάδιο Ασκήσεων  11
Θεωρητικά Θέματα
  1. Θεωρητικά Θέματα  Ανανεώθηκε:  -->  [30/12/2013]
Εκπαιδευτικό Υλικό Μαθήματος σε ένα αρχείο:

Ο ακόλουθος σύνδεσμος  περιέχει όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος συγκεντρωμένο σε ένα αρχείο 431 σελίδων.

Το παραπάνω αρχείο περιλαμβάνει στοιχεία θεωρίας και 351 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 175 είναι λυμένες.

Γραπτή Εξέταση:  Η γραπτή εξέταση του μαθήματος θα πραγματοποιηθεί την:
      
                                                                                                                                   Τρίτη  11 Φεβρουαρίου  2014,  ώρα:  09:00 - 12:00

                                                                                                            Καλή Επιτυχία!
Ύλη του Μαθήματος  (ανα Εβδομάδα Διδασκαλίας)
  1. Επενθυμίσεις: Σύνολα, Απεικονίσεις, Σχέσεις Ισοδυναμίας, Διαμερίσεις, Πράξεις.
  2. Ομάδες - Ομάδες Μετατάξεων.
  3. Κυκλικές Ομάδες - Γεννήτορες.
  4. Πλευρικές Κλάσεις - Θεώρημα Lagrange.
  5. Ομομορφισμοί Ομάδων - Ομάδες Πηλίκα.
  6. Δακτύλιοι και Σώματα - Ακέραιες Περιοχές.
  7. Θεωρήματα Fermat και Euler.
  8. Δακτύλιοι Πολυωνύμων - Ομομορφισμοί Δακτυλίων.
  9. Δακτύλιοι Πηλίκα - Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη.
  1. 1η   Εβδομάδα:  Ιστορικά στοιχεία και πληροφοριακό υλικό σχετικά με το μάθημα. Σχέσεις και απεικονίσεις. Σχέσεις μερικής διάταξης και διαγράμματα Hasse. Σχέσεις ισοδυναμίας και διαμερίσεις. Εσωτερικές πράξεις επί συνόλων. 
  2. 2η   Εβδομάδα: Πράξεις και διαγράμματα Cayley.  Σχέσεις ισοδυναμίας συμβιβαστές με διμελείς πράξεις. Εισαγωγή στις ομάδες. Παραδείγματα ομάδων. 
  3. 3η   Εβδομάδα: Στοιχειώδεις ιδιότητες ομάδων. Ομάδες πινάκων και ομάδες μεταθέσεων.  Το  διάγραμμα Cayley μιας ομάδας.  Δυνάμεις στοιχείων σε μια ομάδα. Ομάδες μικρής τάξης.
  4. 4η   Εβδομάδα: Η έννοια της υποομάδας και βασικές ιδιότητες. Παραδείγματα υποομάδων. Κυκλικές υποομάδες. Τάξη στοιχείου και Ομάδας.
  5. 5η   Εβδομάδα: Ταξινόμηση υποομάδων μιας κυκλικής ομάδας. Διάγραμμα Hasse υποομάδων μιας ομάδας. Σύμπλοκα και το Θεώρημα Lagrange.
  6. 6η   Εβδομάδα: Εφαρμογές Θεωρήματος Lagrange. Διεδρικές ομάδες και η ομάδα των τετρανίων. Ομάδες μεταθέσεων.
  7. 7η   Εβδομάδα: Η συμμετρική ομάδα. Κύκλοι και ανάλυση μετάθεσης σε γινόμενο ξένων κύκλων. Αντιμεταθέσεις.  Πρόσημο μετάθεσης.
  8. 8η   Εβδομάδα: Η εναλλάσσουσα ομάδα.  Κανονικές υποομάδες και ομάδες πηλίκα. Βασικές ιδιότητες και παραδείγματα.
  9. 9η   Εβδομάδα: Oμάδες πηλίκα. Ομομορφισμοί Ομάδων. Βασικές ιδιότητες και παραδείγματα.  Θεώρημα Cayley.
  10. 10η Εβδομάδα:  Εφαρμογές Θεωρήματος Cayley.  Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Τα Θεωρήματα Ισομορφισμών και οι εφαρμογές τους.  Εισαγωγή στους Δακτυλίους.
  11. 11η Εβδομάδα: Βασικές ιδιότητες δακτυλίων,  παραδείγματα, και κατασκευές δακτυλίων.  Αντιστρέψιμα στοιχεία και διαιρέτες του μηδενός. Δακτύλιοι διαίρεσης, σώματα και ακέραιες περιοχές.
  12. 12η Εβδομάδα: Χαρακτηριστική δακτυλίου. Ομομορφισμοί δακτυλίων και  ιδεώδη. Δακτύλιοι πηλίκα και τα Θεωρήματα Ισομορφισμών για δακτυλίους.  
  13. 13η Εβδομάδα: Περιοχές κυρίων ιδεωδών. Πρώτα και μέγιστα (μεγιστοτικά) ιδεώδη. Εφαρμογές.

Βιβλιογραφία και Χρήσιμοι Σύνδεσμοι


Σχετικά Βιβλία στη Βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών
 Χρήσιμοι Σύνδεσμοι 

(Ελεύθερα Βιβλία και Σημειώσεις Αφηρημένης Άλγεβρας, σε διάφορα επίπεδα δυσκολίας,
 στο Διαδίκτυο)                 
P.M. Cohn: ''Basic Algebra'',  Springer, (2003).                                                                                      
1. http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/
I. N. Herstein: ''Abstract Algebra'', John Wiley and Sons, (1999). 2. http://www.numbertheory.org/book/
I. N. Herstein: ''Topics in Algebra'', John Wiley and Sons, (1975). 3. http://www.math.umn.edu/~garrett/m/intro_algebra/notes.pdf
E. Vinberg: ''A Course in Algebra'', AMS, (2003). 4. http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/study_guide/contents.html
S. Lang: ''Algebra'', Springer, (2002). 5. http://www.math.uiowa.edu/%7Egoodman/algebrabook.dir/algebrabook.html
W. Deskins: ''Abstract Algebra'', Dover, (1996). 6. http://www.math.miami.edu/~ec/book/
J. Smith: ''An Introduction to Abstract Algebra'', Chapman and Hall, (2009). 7. http://shell.cas.usf.edu/~wclark/Elem_abs_alg.pdf
Th. Hungerford: ''Abstract Algebra'', Cengage Learning, (1997).  8. http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/lnlafolder/lnla.html
J. Beachy: ''Abstract Algebra'', Waveland Press, (2005).
9. http://abstract.ups.edu/download.html
Ch. Pinter: ''A Book of Abstract Algebra'', Dover, (2010).
 10. http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra.html
M. Marcus: ''Introduction to Modern Algebra", Marcel Dekker, (1978).
 		11. http://www.math.purdue.edu/~dvb/algebra/algebra.pdf


Τελευταία Τροποποίηση:  29  Δεκεμβρίου  2013