521:   ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ  ΔΟΜΕΣ   Ι

Ακαδημαϊκό Έτος  2014 - 2015

Ιστοσελίδα Μαθήματος:   http://users.uoi.gr/abeligia/AlgebraicStructuresI/ASI2014/ASI2014.html

Γενικές Πληροφορίες


                                                                 Τμήμα Α'            
                                                     Τμήμα Β'                            
  • Δευτέρα:  12 - 14:  Αίθουσα 010,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Δευτέρα:  12 - 14:  Αίθουσα 012,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Πέμπτη:  12 - 14:  Αίθουσα 010,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Πέμπτη:  12 - 14:  Αίθουσα 012,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Παρασκευή:  9 - 11:  Αίθουσα 010,  (ισόγειο ΤμήματοςΜαθηματικών)
    • Ασκήσεις.
  • Παρασκευή:  9 - 11:  Αίθουσα 012,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Ασκήσεις.


Ανακοινώσεις   
  1. [25/9/2014]:  Η έναρξη της διδασκαλίας του μαθήματος θα πραγματοποιηθεί την Δευτέρα 29 Σεπτεμβρίου 2014, ώρα: 12:00.
  2. [5/11/2014]:  Λόγω συνέλευσης του Φοιτητικού Συλλόγου, η  διδασκαλία του μαθήματος την Πέμπτη 6 Νοεμβρίου 2014, ώρα 12:00-14:00, θα πραγματοποιηθεί την ίδια ημέρα  6 Νοεμβρίου 2014, και ώρα:  18:00-20:00.
  3.   [9/1/2015]:  Την Δευτέρα 12 Ιανουαρίου 2015, ώρα: 12:00,  στην αίθουσα 012, θα πραγματοποιηθεί επιπρόσθετο μάθημα Ασκήσεων.

Ιστορικά Στοιχεία


Βλέπε τους σχετικούς ιστότοπους:
Σκοποί του Μαθήματος

Το μάθημα αποσκοπεί στη μελέτη αλγεβρικών ιδιοτήτων συνόλων τα οποία  είναι εφοδιασμένα με μια ή περισσότερες  (εσωτερικές) πράξεις. Συνήθως τέτοιου είδους μαθηματικά αντικείμενα τα ονομάζουμε αλγεβρικές δομές.  Θα ασχοληθούμε κυρίως με δύο είδη αλγεβρικών δομών:
  1. Τις ομάδες. Το πρότυπο παράδειγμα ομάδας είναι η ομάδα μετατάξεων (μεταθέσεων) ενός, συνήθως πεπερασμένου, συνόλου. Πρόκειται για το σύνολο των ένα προς ένα και επί απεικονίσεων από ένα σύνολο  στον εαυτό του εφοδιασμένο με την  πράξη τής σύνθεσης των απεικονίσεων.
  2. Τους δακτυλίους. Το πρότυπο παράδειγμα δακτυλίου είναι το σύνολο των ακεραίων αριθμών εφοδιασμένο με τις πράξεις τής πρόσθεσης και τού πολλαπλασιασμού ακεραίων αριθμών.
Θα διατυπώσουμε διάφορα θεωρήματα που αφορούν την δομή και τις βασικές ιδιότητες ομάδων και δακτυλίων με έμφαση στην έννοια τού ισομορφισμού ομάδων ή δακτυλίων. Από τη σκοπιά τις Άλγεβρας δύο αλγεβρικές δομές που είναι ισόμορφες έχουν ακριβώς τις ίδιες αλγεβρικές ιδιότητες. Επομένως ως άμεση  συνέπεια έχουμε ότι τα συμπεράσματα τα οποία ισχύουν για μια αλγεβρική δομή  ισχύουν και για οποιαδήποτε ισόμορφή της.  Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα,  να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων και , και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς.
Φυλλάδια Ασκήσεων
                              Φυλλάδια  Ασκήσεων Προς Λύση                                                                                               Προτεινόμενες  Ασκήσεις  Προς  Λύση                            
1.    [3/10/2014]    1o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση
 1.    [3/10/2014]    1ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση                                                   
2.  [10/10/2014]    2o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     2.  [10/10/2014]    2o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση    
3.  [17/10/2014]    3o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση          3.  [17/10/2014]    3o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση    
4.  [24/10/2014]    4o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση      4.  [24/10/2014]    4o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση         
5.    [7/11/2014]    5o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση       5.    [7/11/2014]    5o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση      
6.  [14/11/2014]    6o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση      6.  [14/11/2014]    6o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση    
7.  [28/11/2014]    7o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     7.  [28/11/2014]    7o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση    
8.    [5/12/2014]    8o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση            8.    [5/12/2014]    8o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση       
9.  [19/12/2014]    9o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση    9.  [19/12/2014]    9o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση     
10.    [9/1/2015]   10o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση  10.    [9/1/2015]   10o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση   
11.  [12/1/2015]   11o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     11.  [12/1/2015]   11o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση     

Επίλυση Επιλεγμένων Ασκήσεων
  1.   [11/10/2014]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 
  2.   [11/10/2014]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 2
  3.   [18/10/2014]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 
  4.   [25/10/2014]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 4
  5.     [8/11/2014]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 5  
  6.   [15/11/2014]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 6    
  7.   [29/11/2014]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 7
  8.     [6/12/2014]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 8
  9.   [19/12/2014]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 9  
  10.       [9/1/2015]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 10     
  11.     [12/1/2015]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 11
Θεωρητικά Θέματα

Ο ακόλουθος σύνδεσμος  σχεδιάζεται να περιέχει ανάπτυξη επιλεγμένων θεωρητικών θεμάτων  με σκοπό να συμπληρώσουν,  επεκτείνουν, και εμπλουτίσουν με παραδείγματα και εφαρμογές,  βασικά στοιχεία θεωρίας  όπως αυτή περιγράφεται στον οδηγό σπουδών (βλέπε παρακάτω).  
  1. Θεωρητικά Θέματα   --->  [Ανανεώθηκε 29/11/2014]
Εκπαιδευτικό Υλικό Μαθήματος σε ένα αρχείο:

Ο ακόλουθος σύνδεσμος,  ο οποίος θα ενεργοποιηθεί μετά το τέλος των μαθημάτων, σχεδιάζεται να περιέχει όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος συγκεντρωμένο σε ένα αρχείο.

Γραπτή Εξέταση:  Η γραπτή εξέταση του μαθήματος θα πραγματοποιηθεί την:
      
                                                                                                                          Τετάρτη  28 Ιανουαρίου  2015,  ώρα:  09:00 - 12:00
                                                                                                        
Ύλη του Μαθήματος  (και ανά Εβδομάδα Διδασκαλίας)
  1. Επενθυμίσεις: Σύνολα, Απεικονίσεις, Σχέσεις Ισοδυναμίας, Διαμερίσεις, Πράξεις.
  2. Ομάδες - Ομάδες Μετατάξεων.
  3. Κυκλικές Ομάδες - Γεννήτορες.
  4. Πλευρικές Κλάσεις - Θεώρημα Lagrange.
  5. Ομομορφισμοί Ομάδων - Ομάδες Πηλίκα.
  6. Δακτύλιοι και Σώματα - Ακέραιες Περιοχές.
  7. Θεωρήματα Fermat και Euler.
  8. Δακτύλιοι Πολυωνύμων - Ομομορφισμοί Δακτυλίων.
  9. Δακτύλιοι Πηλίκα - Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη.
  1. 1η   Εβδομάδα:  Ιστορικά στοιχεία και πληροφοριακό υλικό σχετικά με το μάθημα. Σχέσεις και απεικονίσεις.  Σχέσεις ισοδυναμίας και διαμερίσεις. Εσωτερικές πράξεις επί συνόλων. 
  2. 2η   Εβδομάδα:  Εισαγωγή στην έννοια της ομάδας.  Παραδείγματα ομάδων.  Στοιχειώδεις Ιδιότητες Ομάδων. Πίνακας Cayley μιας ομάδας. Ομάδες πινάκων και μεταθέσεων.
  3. 3η   Εβδομάδα: Δύναμη στοιχείου ομάδας. Κυκλικές υποομάδες. Η έννοια της υποομάδας.   Παραδείγματα υποομάδων και βασικές ιδιότητες υποομάδων.  Τάξη ομάδας. 
  4. 4η   Εβδομάδα: Τάξη στοιχείου σε μια ομάδα. Βασικές ιδιότητες τάξης στοιχείου ομάδας και παραδείγματα. Κυκλικές ομάδες. Βασικές ιδιότητες κυκλικών ομάδων και παραδείγματα.   
  5. 5η   Εβδομάδα: Ταξινόμηση υποομάδων κυκλικών ομάδων (άπειρων και πεπερασμένων). Διαγράμματα Hasse υποομάδων κυκλικών Ομάδων. Πλευρικές Κλάσεις (Σύμπλοκα) υποομάδων.  
  6. 6η   Εβδομάδα: Το Θεώρημα του Lagrange και οι εφαρμογές του.  Διεδρικές ομάδες και η ομάδα των τετρανίων. Τα Θεωρήματα  Euler και Fermat. Εισαγωγή στην έννοια της κανονικής υποομάδας.
  7. 7η   Εβδομάδα: Βασικές ιδιότητες και παραδείγματα κανονικών υποομάδων. Η ομάδα πηλίκο μιας ομάδας ως προς μια κανονική υποομάδα. Εισαγωγή στους ομομορφισμούς ομάδων.
  8. 8η   Εβδομάδα: Βασικές ιδιότητες ομομορφισμών.  Παραδείγματα.
  9. 9η   Εβδομάδα: Τα Θεωρήματα Ισομορφισμών. Ταξινόμηση ομάδων μικρής τάξης και κυκλικών ομάδων.  Το Θεώρημα  του Cayley. Εφαρμογές.
  10. 10η Εβδομάδα:  Η συμμετρική ομάδα. Κύκλοι και ανάλυση μετάθεσης σε γινόμενο ξένων κύκλων. Αντιμεταθέσεις.  Πρόσημο μετάθεσης. Η εναλλάσσουσα ομάδα.
  11. 11η Εβδομάδα: Εισγωγή στην έννοια του δακτυλίου. Βασικές ιδιότητες,  παραδείγματα, και κατασκευές δακτυλίων.  Αντιστρέψιμα στοιχεία και διαιρέτες του μηδενός. Δακτύλιοι διαίρεσης, σώματα και ακέραιες περιοχές.
  12. 12η Εβδομάδα: Χαρακτηριστική δακτυλίου. Δακτύλιοι Πολυωνύμων. Ιδεώδη και Ομομορφισμοί δακτυλίων. Δακτύλιοι πηλίκα και τα Θεωρήματα Ισομορφισμών για δακτυλίους.  
  13. 13η Εβδομάδα: Περιοχές κυρίων ιδεωδών. Πρώτα και μέγιστα (μεγιστοτικά) ιδεώδη. Εφαρμογές.

Βιβλιογραφία και Χρήσιμοι Σύνδεσμοι


Σχετικά Βιβλία στη Βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών
 Χρήσιμοι Σύνδεσμοι 

(Ελεύθερα Βιβλία και Σημειώσεις Αφηρημένης Άλγεβρας, σε διάφορα επίπεδα δυσκολίας,
 στο Διαδίκτυο)                 
P.M. Cohn: ''Basic Algebra'',  Springer, (2003).                                                                                      
1. http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/
I. N. Herstein: ''Abstract Algebra'', John Wiley and Sons, (1999). 2. http://www.numbertheory.org/book/
I. N. Herstein: ''Topics in Algebra'', John Wiley and Sons, (1975). 3. http://www.math.umn.edu/~garrett/m/intro_algebra/notes.pdf
E. Vinberg: ''A Course in Algebra'', AMS, (2003). 4. http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/study_guide/contents.html
S. Lang: ''Algebra'', Springer, (2002). 5. http://www.math.uiowa.edu/%7Egoodman/algebrabook.dir/algebrabook.html
W. Deskins: ''Abstract Algebra'', Dover, (1996). 6. http://www.math.miami.edu/~ec/book/
J. Smith: ''An Introduction to Abstract Algebra'', Chapman and Hall, (2009). 7. http://shell.cas.usf.edu/~wclark/Elem_abs_alg.pdf
Th. Hungerford: ''Abstract Algebra'', Cengage Learning, (1997).  8. http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/lnlafolder/lnla.html
J. Beachy: ''Abstract Algebra'', Waveland Press, (2005).
9. http://abstract.ups.edu/download.html
Ch. Pinter: ''A Book of Abstract Algebra'', Dover, (2010).
 10. http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra.html
M. Marcus: ''Introduction to Modern Algebra", Marcel Dekker, (1978).
 		11. http://www.math.purdue.edu/~dvb/algebra/algebra.pdf


Τελευταία Τροποποίηση:   10  Ιανουαρίου  2015