422:   ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ  ΔΟΜΕΣ   Ι

Ακαδημαϊκό Έτος  2015 - 2016

Γενικές Πληροφορίες

                                                                                                 Το εκπαιδευτικό υλικό το οποίο ακολουθεί αφορά το Τμήμα Β'
Τμήμα Β'
Διδάσκων: Α. Μπεληγιάννης
Πέμπτη: 13-15, Αίθουσα 012
Παρασκευή: 9-12, Αίθουσα 012
  1. [15/2/2016]:  Η έναρξη της διδασκαλίας του μαθήματος για το Τμήμα Β' θα πραγματοποιηθεί την Πέμπτη 18 Φεβρουαρίου 2016, ώρα: 13:00 στην αίθουσα 012.
  2. [18/3/2016]:  Το Σάββατο 19 Μαρτίου 2016, ώρα: 11:00-14:00  στην αίθουσα 012. θα πραγματοποιηθεί συμπληρωματική διδασκαλία για το Τμήμα Β'.
  3. [11/4/2016]:  Την Τετάρτη 13 Απριλίου 2016, ώρα: 18:00-21:00  στην αίθουσα 012. θα πραγματοποιηθεί συμπληρωματική διδασκαλία για το Τμήμα Β'.
  4. [18/4/2016]:  Την Τετάρτη 20 Απριλίου 2016, ώρα: 18:00-21:00  στην αίθουσα 012. θα πραγματοποιηθεί συμπληρωματική διδασκαλία για το Τμήμα Β'.
  5. [20/4/2016]:  Αναρτήθηκαν ηλεκτρονικά βιβλία θεωρίας και ασκήσεων.
  6.   [7/5/2016]:  Ανανεώθηκαν τα  ηλεκτρονικά βιβλία θεωρίας (544 σελίδες) και ασκήσεων (476 σελίδες).
  7.   [9/5/2016]:  Την Τετάρτη 11 Μαίου 2016, ώρα: 18:00-21:00  στην αίθουσα 012. θα πραγματοποιηθεί συμπληρωματική διδασκαλία για το Τμήμα Β'.
  8. [23/5/2016]:  Την Τετάρτη 25 Μαίου 2016, ώρα: 18:00-21:00  στην αίθουσα 012. θα πραγματοποιηθεί συμπληρωματική διδασκαλία για το Τμήμα Β'.
Βλέπε τους σχετικούς ιστότοπους:
Το μάθημα αποσκοπεί στη μελέτη αλγεβρικών ιδιοτήτων συνόλων τα οποία  είναι εφοδιασμένα με μια ή περισσότερες  (εσωτερικές) πράξεις. Συνήθως τέτοιου είδους μαθηματικά αντικείμενα τα ονομάζουμε αλγεβρικές δομές.  Θα ασχοληθούμε κυρίως με δύο είδη αλγεβρικών δομών:
  1. Τις ομάδες. Το πρότυπο παράδειγμα ομάδας είναι η ομάδα μετατάξεων (μεταθέσεων) ενός, συνήθως πεπερασμένου, συνόλου. Πρόκειται για το σύνολο των ένα προς ένα και επί απεικονίσεων από ένα σύνολο  στον εαυτό του εφοδιασμένο με την  πράξη τής σύνθεσης των απεικονίσεων.
  2. Τους δακτυλίους. Το πρότυπο παράδειγμα δακτυλίου είναι το σύνολο των ακεραίων αριθμών εφοδιασμένο με τις πράξεις τής πρόσθεσης και τού πολλαπλασιασμού ακεραίων αριθμών.
Θα διατυπώσουμε διάφορα θεωρήματα που αφορούν την δομή και τις βασικές ιδιότητες ομάδων και δακτυλίων με έμφαση στην έννοια τού ισομορφισμού ομάδων ή δακτυλίων. Από τη σκοπιά τις Άλγεβρας δύο αλγεβρικές δομές που είναι ισόμορφες έχουν ακριβώς τις ίδιες αλγεβρικές ιδιότητες. Επομένως ως άμεση  συνέπεια έχουμε ότι τα συμπεράσματα τα οποία ισχύουν για μια αλγεβρική δομή  ισχύουν και για οποιαδήποτε ισόμορφή της.  Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα,  να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων και , και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς.
                              Φυλλάδια  Ασκήσεων Προς Λύση                                                                                               Προτεινόμενες  Ασκήσεις  Προς  Λύση                            
1.     [25/2/2016]    1o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση
 1.     [25/2/2016]    1ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση                                                   
2.       [3/3/2016]    2o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     2.       [3/3/2016]    2o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση    
3.     [17/3/2016]    3o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση        3.     [17/3/2016]    3o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση     
4.     [24/3/2016]    4o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση       4.     [24/3/2016]    4o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση            
5.     [31/3/2016]    5o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση       5.     [31/3/2016]    5o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση      
6.       [7/4/2016]    6o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση      6.       [7/4/2016]    6o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση    
7.     [14/4/2016]    7o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     7.     [14/4/2016]    7o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση    
8.     [21/4/2016]    8o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση            8.     [21/4/2016]    8o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση         
9.     [12/5/2016]    9o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση   9.     [12/5/2016]    9o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση     
10.   [19/5/2016]   10o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση   10.   [19/5/2016]   10o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση   
11.   [26/5/2016]  11o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση        11.   [26/5/2016]   11o  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων προς Λύση     

  1.   [25/2/2016]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 
  2.     [3/3/2016]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 2
  3.   [17/3/2016]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 3
  4.   [24/3/2016]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 4
  5.   [31/3/2016]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 5  
  6.     [7/4/2016]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 6      
  7.   [14/4/2016]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 7  
  8.   [21/4/2016]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 8
  9.   [12/5/2016]    Φυλλάδιο Ασκήσεων 9  
  10.   [19/5/2016]   Φυλλάδιο Ασκήσεων 10       
  11.   [26/5/2016]   Φυλλάδιο Ασκήσεων 11 
 Ηλεκτρονικά Βιβλία Θεωρίας και Ασκήσεων
Ο ακόλουθος σύνδεσμος  σχεδιάζεται να περιέχει ανάπτυξη επιλεγμένων θεωρητικών θεμάτων  με σκοπό να συμπληρώσουν,  επεκτείνουν, και εμπλουτίσουν με παραδείγματα και εφαρμογές,  βασικά στοιχεία θεωρίας  όπως αυτή περιγράφεται στον οδηγό σπουδών (βλέπε παρακάτω).  
  1. Σημειώσεις - Θεωρητικά Θέματα

Ο ακόλουθος σύνδεσμος,  ο οποίος θα ενεργοποιηθεί μετά το τέλος των μαθημάτων, σχεδιάζεται να περιέχει όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος συγκεντρωμένο σε ένα αρχείο.

                                                                                                          Τρίτη  21 Ιουνίου  2016,  ώρα:  09:00 - 12:00                                                                 
  1. Επενθυμίσεις: Σύνολα, Απεικονίσεις, Σχέσεις Ισοδυναμίας, Διαμερίσεις, Πράξεις.
  2. Ομάδες - Ομάδες Μετατάξεων.
  3. Κυκλικές Ομάδες - Γεννήτορες.
  4. Πλευρικές Κλάσεις - Θεώρημα Lagrange.
  5. Ομομορφισμοί Ομάδων - Ομάδες Πηλίκα.
  6. Δακτύλιοι και Σώματα - Ακέραιες Περιοχές.
  7. Θεωρήματα Fermat και Euler.
  8. Δακτύλιοι Πολυωνύμων - Ομομορφισμοί Δακτυλίων.
  9. Δακτύλιοι Πηλίκα - Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη.
  1. 1η   Εβδομάδα:  Ιστορικά στοιχεία και πληροφοριακό υλικό σχετικά με το μάθημα. Σχέσεις και απεικονίσεις.  Σχέσεις ισοδυναμίας και διαμερίσεις επί συνόλων. Παραδείγματα.
  2. 2η   Εβδομάδα:  Εσωτερικές διμελείς πράξεις επί συνόλων. Επαγόμενες πράξεις και πράξεις συμβιβαστές με σχέσεις ισοδυναμίας. Βασικές ιδιότητες πράξεων. Εισαγωγή στην έννοια της ομάδας.
  3. 3η   Εβδομάδα:  Παραδείγματα ομάδων.  Στοιχειώδεις ιδιότητες ομάδων. Πίνακας Cayley μιας ομάδας. Ομάδες πινάκων και ομάδες μεταθέσεων. Δύναμη στοιχείου ομάδας. Κυκλικές υποομάδες.
  4. 4η   Εβδομάδα:  Η έννοια της υποομάδας. Παραδείγματα υποομάδων και βασικές ιδιότητες υποομάδων. Τάξη ομάδας και τάξη στοιχείου σε μια ομάδα. Βασικές ιδιότητες τάξης στοιχείου ομάδας και παραδείγματα.
  5. 5η   Εβδομάδα:  Ταξινόμηση υποομάδων κυκλικών ομάδων (άπειρων και πεπερασμένων). Διαγράμματα Hasse υποομάδων κυκλικών Ομάδων. Ισομορφισμοί Ομάδων. Βασικές Ιδιότητες ισομορφισμών. Παραδείγματα Ισομορφισμών.
  6. 6η   Εβδομάδα:  Το Θεώρημα του Lagrange και οι εφαρμογές του.  Τα Θεωρήματα  Euler και Fermat. Διεδρικές ομάδες και η ομάδα των τετρανίων. Εισαγωγή στην έννοια της κανονικής υποομάδας.
  7. 7η   Εβδομάδα: Κανονικές υποομάδες. Η ομάδα πηλίκο μιας ομάδας ως προς μια κανονική υποομάδα. Ομομορφισμοί ομάδων. Βασικές ιδιότητες και παραδείγματα.
  8. 8η   Εβδομάδα:  Τα Θεωρήματα Ισομορφισμών ομάδων. Ταξινόμηση ομάδων μικρής τάξης και κυκλικών ομάδων.  Το Θεώρημα  του Cayley. Εφαρμογές.
  9. 9η   Εβδομάδα: Ομάδες μεταθέσεων και η  συμμετρική ομάδα. Κύκλοι και ανάλυση μετάθεσης σε γινόμενο ξένων κύκλων. Αντιμεταθέσεις.  Άρτιες και Περιττές μεταθέσεις. Πρόσημο μετάθεσης. Η εναλλάσσουσα ομάδα.
  10. 10η Εβδομάδα:  Εισαγωγή στην έννοια του δακτυλίου. Βασικές ιδιότητες,  παραδείγματα, και κατασκευές δακτυλίων.  Αντιστρέψιμα στοιχεία και διαιρέτες του μηδενός.
  11. 11η Εβδομάδα: Τύποι δακτυλίων: δακτύλιοι διαίρεσης, σώματα και ακέραιες περιοχές. Χαρακτηριστική δακτυλίου. Δακτύλιοι πολυωνύμων.  Ομομορφισμοί δακτυλίων.
  12. 12η Εβδομάδα:  Ιδεώδη και Δακτύλιοι πηλίκα. Τα Θεωρήματα Ισομορφισμών για δακτυλίους. Το Θεώρημα Cayley για δακτυλίους.
  13. 13η Εβδομάδα: Περιοχές κυρίων ιδεωδών. Πρώτα και μέγιστα (μεγιστοτικά) ιδεώδη. Εφαρμογές.
Σχετικά Βιβλία στη Βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών
 Χρήσιμοι Σύνδεσμοι 

(Ελεύθερα Βιβλία και Σημειώσεις Αφηρημένης Άλγεβρας, σε διάφορα επίπεδα δυσκολίας,
 στο Διαδίκτυο)                 
P.M. Cohn: ''Basic Algebra'',  Springer, (2003).                                                                                      
1. http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/
I. N. Herstein: ''Abstract Algebra'', John Wiley and Sons, (1999). 2. http://www.numbertheory.org/book/
I. N. Herstein: ''Topics in Algebra'', John Wiley and Sons, (1975). 3. http://www.math.umn.edu/~garrett/m/intro_algebra/notes.pdf
E. Vinberg: ''A Course in Algebra'', AMS, (2003). 4. http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/study_guide/contents.html
S. Lang: ''Algebra'', Springer, (2002). 5. http://www.math.uiowa.edu/%7Egoodman/algebrabook.dir/algebrabook.html
W. Deskins: ''Abstract Algebra'', Dover, (1996). 6. http://www.math.miami.edu/~ec/book/
J. Smith: ''An Introduction to Abstract Algebra'', Chapman and Hall, (2009). 7. http://shell.cas.usf.edu/~wclark/Elem_abs_alg.pdf
Th. Hungerford: ''Abstract Algebra'', Cengage Learning, (1997).  8. http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/lnlafolder/lnla.html
J. Beachy: ''Abstract Algebra'', Waveland Press, (2005).
9. http://abstract.ups.edu/download.html
Ch. Pinter: ''A Book of Abstract Algebra'', Dover, (2010).
 10. http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra.html
M. Marcus: ''Introduction to Modern Algebra", Marcel Dekker, (1978).
 		11. http://www.math.purdue.edu/~dvb/algebra/algebra.pdf


Τελευταία Τροποποίηση:  23  Μαίου  2016