221:   ΓΡΑΜΜΙΚΗ  ΑΛΓΕΒΡΑ   ΙI

Ακαδημαϊκό Έτος  2011 - 2012

Ιστοσελίδα Μαθήματος:   http://users.uoi.gr/abeligia/LinearAlgebraII/LAII.html

Γενικές Πληροφορίες


                                                                 Τμήμα Α'            
                                                     Τμήμα Β'                            
  • Τρίτη:  12 - 14:  Αίθουσα 010, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Τρίτη:  12 - 14:  Αίθουσα 001, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Τετάρτη:  13 - 15:  Αίθουσα 010, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Ασκήσεις.
  • Τετάρτη:  13 - 15:  Αίθουσα 001, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Ασκήσεις.
  • Παρασκευή:  9 - 11:  Αίθουσα 010, (ισόγειο ΤμήματοςΜαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Παρασκευή:  9 - 11:  Αίθουσα 001, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.


  1. Τμήμα Α': Χρυσόστομος Ψαρουδάκης.
  2. Τμήμα Β': Χρυσόστομος Ψαρουδάκης.
Ανακοινώσεις   

  1. [ 9 Μαρτίου 2012 ]:  Η έναρξη της διδασκαλίας του μαθήματος θα πραγματοποιηθεί την  Τρίτη 12 Μαρτίου 2012,  ώρα:  12:00 - 14:00.
  2. [ 27 Μαρτίου 2012 ]:  Όσοι φοιτητές επιθυμούν να δουν το γραπτό τους στην εξέταση Φεβρουαρίου - Μαρτίου των μαθημάτων Γραμμική Άλγεβρα Ι και Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ, να το δηλώσουν στη Γραμματεία του Β' Τομέα, (Γραφείο 407, τέταρτος όροφος), μέχρι την   Παρασκευή 30 Μαρτίου 2012,  ώρες:  11:30 - 14:00.
  3. [ 23 Απριλίου 2012 ]:  Το μάθημα της  Τρίτης 24 Απριλίου 2012  για το  το Τμήμα Α'  αναβάλεται, λόγω  Γενικής Συνέλευσης του Τμήματος. Η ημερομηνία  αναπλήρωσης του μαθήματος θα ανακοινωθεί αργότερα. 
  4. [ 30 Απριλίου 2012 ]: Το μάθημα της  Παρασκευής 4 Μαίου 2012  δεν θα πραγματοποιηθεί λόγω εκλογών: απόφαση Συγκλήτου.
  5. [ 4 Ιουνίου 2012 ]:  Από την Τετάρτη 30 Μαίου και  κάθε Τετάρτη μέχρι το τέλος των μαθημάτων, προστίθεται μία επιπλέον ώρα στην διδασκαλία του μαθήματος. Έτσι το πρόγραμμα διδασκαλίας του μαθήματος την Τετάρτη τροποποιείται ως εξής:   Τετάρτη: 12:00 - 15:00,  αντί Τετάρτη: 13:00 - 15:00. 
  6. [ 30 Ιουνίου 2012 ]:  Προστέθηκαν (βλέπε παρακάτω): (1)  ένα αρχείο σημειώσεων Θεωρητικών Θεμάτων (όχι σε τελική μορφή), και  (2) ολόκληρο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος σε ένα αρχείο 236 σελίδων, το οποίο περιέχει: 
Ιστορικά Στοιχεία


Βλέπε τους σχετικούς ιστότοπους:
Σκοποί του Μαθήματος

Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η μελέτη της δομής μιας γραμμικής απεικόνισης f : E ---> E, όπου E είναι ένας διανυσματικός χώρος πεπέρασμένης διάστασης υπεράνω ενός σώματος K, ή ισοδύναμα ενός τετραγωνικού πίνακα Α με στοιχεία από το Κ. Επιπλέον βασικό σκοπό του μαθήματος αποτελεί η θεμελίωση ενός είδους γεωμετρίας σε διανυσματικούς χώρους πεπερασμένης διάστασης με την χρήση εσωτερικών γινομένων (γενικεύοντας τη συνηθισμένη γεωμετρία του επιπέδου ή του χώρου)  καθώς και οι εφαρμογές της στην ταξινόμηση δευτεροβαθμίων επιφανειών.

Ένα από τα θεμελιώδη προβλήματα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι είναι το ακόλoυθο: 
Ένα σημαντικό μέρος του μαθήματος θα αφιερωθεί στη μελέτη του παραπάνω προβλήματος σε διάφορα πλαίσια.

Οι θεμελιώδεις έννοιες και ιδέες οι οποίες  μας επιτρέπουν τη κατανόηση της δομής μιας γραμμικής απεικόνισης ή ενός τετραγωνικού πίνακα, καθώς και την ανάπτυξη γεωμετρίας σε αφηρημένους διανυσματικούς χώρους είναι οι εξής (Λέξεις-Κλειδιά του μαθήματος):
Φυλλάδια Ασκήσεων
                                Φυλλάδια Ασκήσεων                                                                                                 
                     Προτεινόμενες Ασκήσεις Προς Λύση                            
1.   [21/3/2012]     1o Φυλλάδιο Ασκήσεων                                                                               
1.   [21/3/2012]    1o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση                                                  
2.   [28/3/2012]     2o Φυλλάδιο Ασκήσεων 2.   [28/3/2012]    2o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
3.   [4/4/2012]       3o Φυλλάδιο Ασκήσεων 3.   [4/4/2012]      3o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
4.   [2/5/2012]       4o Φυλλάδιο Ασκήσεων  4.   [2/5/2012]      4o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
5.    [9/5/2012]      5o Φυλλάδιο Ασκήσεων   5.   [9/5/2012]      5o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
6.   [16/5/2012]     6o Φυλλάδιο Ασκήσεων 6.  [16/5/2012]     6o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση 
7.   [30/5/2012]     7o Φυλλάδιο Ασκήσεων     7.  [30/5/2012]     7o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση 
8.   [6/6/2012]       8o Φυλλάδιο Ασκήσεων  8.  [6/6/2012]       8o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση  
9.  [13/6/2012]      9o Φυλλάδιο Ασκήσεων 9.  [6/6/2012]       9o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση 


Δοκιμασία 15 Λεπτών στην Τάξη (Quiz)
  1. Τετάρτη        21 - 3 - 2012:    Test 1 - Λύση
  2. Τετάρτη        28 - 3 - 2012:    Test 2 - Λύση
  3. Τετάρτη          4 - 4 - 2012:    Test 3 - Λύση
  4. Τετάρτη          2 - 5 - 2012:    Test 4 - Λύση
  5. Παρασκευή   11 - 5 - 2012:   Test 5 - Λύση
  6. Τετάρτη        23 - 5 - 2012:    Test 6 - Λύση
  7. Τετάρτη        29 - 5 - 2012:    Test 7 - Λύση
  8. Τετάρτη          6 - 6 - 2012:    Test 8 - Λύση
  9. Τετάρτη        13 - 6 - 2012:    Test 9 - Λύση
  10. Τετάρτη        20 - 6 - 2012:    Test 10 - Λύση

Μέσος Όρος βαθμολογίας:

  1. Τμήμα Α'
  2. Τμήμα Β'

Στις παραπάνω καταστάσεις αποτυπώνεται ο μέσος όρος βαθμολογίας για κάθε φοιτητή ή φοιτήτρια (με άριστα το 1) των 10  δοκιμασιών  οι οποίες πραγματοποιήθηκαν κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας του μαθήματος.  Στις καταστάσεις δεν περιέχονται ονόματα φοιτητών ή φοιτητριών οι οποίοι/ες είτε παρέδωσαν μόνο μία δοκιμασία ή ο μέσος όρος βαθμολογίας τους είναι μικρότερος του 0.1.  

Τελικός Βαθμός Μαθήματος = Μέσος Όρος Βαθμολογίας Δοκιμασίας 15 Λεπτών στην Τάξη + Βαθμός Γραπτής Εξέτασης Ιουλίου 2012.

Επίλυση Επιλεγμένων Ασκήσεων
  1. Φυλλάδιο Ασκήσεων  1
  2. Φυλλάδιο Ασκήσεων  2
  3. Φυλλάδιο Ασκήσεων  3
  4. Φυλλάδιο Ασκήσεων  4
  5. Φυλλάδιο Ασκήσεων  5
  6. Φυλλάδιο Ασκήσεων  6
  7. Φυλλάδιο Ασκήσεων  7
  8. Φυλλάδιο Ασκήσεων  8
  9. Φυλλάδιο Ασκήσεων  9
  10. Φυλλάδιο Ασκήσεων  10 (Επαναληπτικές Ασκήσεις)
Θεωρητικά Θέματα
  1. Θεωρητικά Θέματα, σελίδες 94  --> (Ανανεώθηκε: 30 Ιουνίου 2012)
Εκπαιδευτικό Υλικό Μαθήματος σε ένα αρχείο:

(Περιέχει όλα τα παραπάνω αρχεία καθώς και επιπρόσθετο εκπαιδευτικό υλικό)

Ύλη του Μαθήματος  (ανα Εβδομάδα Διδασκαλίας)
  1. 'Aθροισμα και ευθύ  άθροισμα υποχώρων.
  2. Ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα, και ιδιοχώροι. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο.
  3. Οι δακτύλιοι των πολυωνύμων R[t] και C[t].
  4. Διαγωνοποίηση - Τριγωνοποίηση.
  5. Ελάχιστο Πολυώνυμο. Θεώρημα Cayley-Hamilton.
  6. Ευκλείδειοι Χώροι. 
  7. Ορθογωνιότητα.
  8. Κανονικοποίηση Gram-Schmidt.
  9. Ορθογώνιοι πίνακες.
  10. Αυτοπροσαρτημένοι ενδομορφισμοί.
  11. Συμμετρικοί πίνακες.
  12. Φασματικό Θεώρημα.
  13. Ισομετρίες.
  14. Τετραγωνικές μορφές.
  15. Κύριοι άξονες.
  16. Τετραγωνική ρίζα μη-αρνητικού συμμετρικού πίνακα.
  17. Θετικοί και μη-αρνητικοί τετραγωνικοί πίνακες. 
  1. 1η    Εβδομάδα: Εισαγωγή στις βασικές έννοιες και στους σκοπούς του μαθήματος. Υπενθυμίσεις από την Γραμμική Άλγεβρα Ι.  'Aθροισμα και ευθύ άθροισμα υπόχωρων.
  2. 2η    Εβδομάδα: Βασικά Θεωρήματα και Εφαρμογές για το ευθύ άθροισμα υπόχωρων. Ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα και ιδιοχώροι. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο γραμμικής απεικόνισης και τετραγωνικού πίνακα.
  3. 3η    Εβδομάδα: Βασικά Θεωρήματα για Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα. Υπενθυμίσεις από την θεωρία πολυωνύμων. Εισαγωγή στην Διαγωνοποίηση ενδομορφισμών και τετραγωνικών πινάκων.     
  4. 4η    Εβδομάδα: Αλγεβρική και Γεωμετρική Πολλαπλότητα Ιδιοτιμής. Βασικά Θεωρήματα Διαγωνοποίησης. Εφαρμογές στην εύρεση δύναμης πίνακα και στις αναγωγικές ακολουθίες.
  5. 5η    Εβδομάδα: Τριγωνοποίηση Γραμμικών Απεικονίσεων και Τετραγωνικών Πινάκων. Πολυωνυμικοί πίνακες και πολυωνυμικές γραμμικές απεικονίσεις.
  6. 6η    Εβδομάδα: Θεώρημα Cayley-Hamilton. Το ελάχιστο πολυώνυμο και οι εφαρμογές του. Κριτήριο διαγωνοποίησης με χρήση ελαχίστου πολυωνύμου και εφαρμογές στην εύρεση δύναμης πίνακα και αντιστρόφου αντιστρέψιμου πίνακα.
  7. 7η    Εβδομάδα: Εσωτερικά Γινόμενα. Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγματα.  Ευκλείδειοι Χώροι. Παραδείγματα. 
  8. 8η    Εβδομάδα: Ανισότητες Cauchy-Schwarz και Minkowski (τριγωνική ανισότητα). Γωνία διανυσμάτων. Ορθοκανονικά σύνολα και Ορθοκανονικές Βάσεις. Διαδικασία Gram-Schmidt. Ορθογώνιοι υπόχωροι  και Ορθογώνιο συμπλήρωμα υπόχωρου.   
  9. 9η    Εβδομάδα: Ισομετρίες και Ορθογώνιοι πίνακες. Γεωμετρική ερμηνεία ισομετριών στο επίπεδο και στον χώρο.    
  10. 10η  Εβδομάδα:  Προσαρτημένη μιας γραμμικής απεικόνισης. Αυτοπροσαρτημένες γραμμικές απεικονίσεις και συμμετρικοί πίνακες. Ιδιοτιμές συμμετρικού πίνακα.
  11. 11η  Εβδομάδα: Το Φασματικό Θεώρημα και οι εφαρμογές του.  
  12. 12η  Εβδομάδα: Θετικοί και μη-αρνητικοί ενδομορφισμοί και πίνακες. Τετραγωνική ρίζα ενδομορφισμού και πίνακα. Τετραγωνικές μορφές. 
  13. 13η  Εβδομάδα: Θεώρημα κυρίων αξόνων. Εφαρμογές στις δευτεροβάθμιες επιφάνειες.  

Βιβλιογραφία και Χρήσιμοι Σύνδεσμοι


Σχετικά Βιβλία στη Βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών
 Χρήσιμοι Σύνδεσμοι 

(Ελεύθερα Βιβλία και Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας στο Διαδίκτυο)                 
S. Lang: ''Introduction to Linear Algebra'',  Springer-Verlag, (1986).                       
               "Linear Algebra", Springer-Verlag, (1987).
 1. http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/
L. Smith: ''Linear Algebra'', Springer-Verlag, (1978). 2. http://www.numbertheory.org/book/
R. Kaye, R. Wilson: ''Linear Algebra'', Oxford University Press, (1998). 3. http://www.math.hawaii.edu/~lee/linear/index.html
O. Bretscher: ''Linear Algebra with Applications'', Prentice Hall, (2001). 4. http://linear.ups.edu/download.html
R. Larson, B. Edwards: ''Elementary Linear Algebra'', Heath, (1996). 5. http://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW.html
C. Curtis: ''Linear Algebra: an introductiory approach'', Springer-Verlag, (1984). 6. http://www.math.miami.edu/~ec/book/
W. Greub: ''Linear Algebra'', Springer, (1967). 7. http://www.math.byu.edu/%7Eklkuttle/0000ElemLinearalgebratoprintnoexercise.pdf
I. Herstein, D. Winter: ''Matrix Theory and Linear Algebra'', Macmillan, (1988).  8. http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/lnlafolder/lnla.html
I. Gelfand: ''Lectures on Linear Algebra'', Interscience, (1961).
9. http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html
J. Munkres: ''Elementary Linear Algebra'', Addison-Wesley, (1964).
 10. http://euclid.ucc.ie/pages/staff/Mckay/linear-algebra/spring-2008/LinearAlgebra.pdf
K. Hoffman, R. Kunze: ''Linear Algebra", Prentice-Hall, (1965). 11. http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/LinAlg/LinAlg.aspx


Τελευταία Τροποποίηση:   30  Ιουνίου  2012.