221:  ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙI

Ακαδημαϊκό Έτος  2018 - 2019

Γενικές Πληροφορίες

                                                                                         Το εκπαιδευτικό υλικό το οποίο ακολουθεί αφορά το Τμήμα Β' ('Αρτιοι)
Τμήμα Β'
Διδάσκων: Α. Μπεληγιάννης
Δευτέρα:  12 - 14,  Αίθουσα 010
Παρασκευή:  9 - 12,  Αίθουσα 010
  •  Δ. Βάρσος- Δ. Δεριζιώτης - Γ. Εμμανουήλ - Μ. Μαλιάκας - Α. Μελάς- Ο. Ταλλέλη:  "Μια Εισαγωγή στη Γραμμική 'Aλγεβρα", Εκδόσεις Σοφία, (2012) -->  Ιστοσελίδα Συγγράμματος
  •  Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη - Χ. Χαραλάμπους - Χ. Βαβατσούλας:  "Γραμμική 'Aλγεβρα", Εκδόσεις Τζιόλα, (2017)  -->  Ιστοσελίδα Συγγράμματος
  1. [15/2/2019]:  Σύμφωνα με τον Οδηγό Σπουδών,  και το Πρόγραμμα Διδασκαλίας, η έναρξη της διδασκαλίας του μαθήματος για το Τμήμα Β', θα πραγματοποιηθεί την Δευτέρα 18 Φεβρουαρίου 2019,  ώρα: 12:00 στην αίθουσα 010.
  2.   [1/3/2019]:  Αναρτήθηκε το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων το οποίο περιέχει 50 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 27 αναλυτικά λυμένες, και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της. 
  3.   [8/3/2019]:  Αναρτήθηκε το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων το οποίο περιέχει 67 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 31 αναλυτικά λυμένες, και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της. 
  4. [23/3/2019]:  Αναρτήθηκε το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων το οποίο περιέχει 80 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 42 αναλυτικά λυμένες, και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  5. [26/3/2019]:  Αναρτήθηκε το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων το οποίο περιέχει 52 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 26 αναλυτικά λυμένες, και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  6. [29/3/2019]:  Λόγω άδειας απουσίας του διδάσκοντα στο εξωτερικό για ερευνητικούς λόγους κατά τη χρονική περίοδο 2 Απριλίου 2019 - 16 Απριλίου 2019, δεν θα πραγματοποιηθεί η διδασκαλία του μαθήματος τις ημερομηνίες 5/4/2019, 8/4/2019, 12/4/2019, και 15/4/2019. Τα μαθήματα που δεν θα γίνουν, θα αναπληρωθούν μετά τις διακοπές του Πάσχα.  Η διδασκαλία του μαθήματος την Παρασκευή 19/4/2019 θα πραγματοποιηθεί κανονικά.
  7. [19/4/2019]:  Αναρτήθηκε το πέμπτο φυλλάδιο ασκήσεων το οποίο περιέχει 42 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 20 αναλυτικά λυμένες, και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  8.   [6/5/2019]:  Κάθε Τετάρτη, ώρα 18:00-21:00, μέχρι το τέλος του εξαμήνου, θα πραγματοποιείται στην αίθουσα 010, επιπρόσθετο μάθημα αναπλήρωσης.
  9. [10/5/2019]:  Αναρτήθηκε το έκτο φυλλάδιο ασκήσεων το οποίο περιέχει 51 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 27 αναλυτικά λυμένες, και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  10. [17/5/2019]:  Αναρτήθηκε το έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων το οποίο περιέχει 48 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 35 αναλυτικά λυμένες, και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  11. [24/5/2019]:  Αναρτήθηκε το όγδοο φυλλάδιο ασκήσεων το οποίο περιέχει 30 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 18 αναλυτικά λυμένες, και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  12. [30/5/2019]:  Αναρτήθηκε το ένατο φυλλάδιο ασκήσεων το οποίο περιέχει 28 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 16 αναλυτικά λυμένες, και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  13. [31/5/2019]: Ολοκληρώθηκε η ανάρτηση των φυλλαδίων ασκήσεων. Συνολικά έχουν αναρτηθεί περίπου 456 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 250 αναλυτικά λυμένες.
Βλέπε τους σχετικούς ιστότοπους:
Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η μελέτη της δομής μιας γραμμικής απεικόνισης f : E ---> E, όπου E είναι ένας διανυσματικός χώρος πεπέρασμένης διάστασης υπεράνω ενός σώματος K, ή ισοδύναμα ενός τετραγωνικού πίνακα Α με στοιχεία από το Κ. Επιπλέον βασικό σκοπό του μαθήματος αποτελεί η θεμελίωση ενός είδους γεωμετρίας σε διανυσματικούς χώρους πεπερασμένης διάστασης με την χρήση εσωτερικών γινομένων (γενικεύοντας τη συνηθισμένη γεωμετρία του επιπέδου ή του χώρου)  καθώς και οι εφαρμογές της στην ταξινόμηση δευτεροβαθμίων επιφανειών.

Ένα από τα θεμελιώδη προβλήματα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι είναι το ακόλoυθο: 
Ένα σημαντικό μέρος του μαθήματος θα αφιερωθεί στη μελέτη του παραπάνω προβλήματος σε διάφορα πλαίσια.

Οι θεμελιώδεις έννοιες και ιδέες οι οποίες  μας επιτρέπουν τη κατανόηση της δομής μιας γραμμικής απεικόνισης ή ενός τετραγωνικού πίνακα, καθώς και την ανάπτυξη γεωμετρίας σε αφηρημένους διανυσματικούς χώρους είναι οι εξής (Λέξεις-Κλειδιά του μαθήματος):
"If you can reduce a mathematical problem to a problem in Linear Algebra, you can most likely solve it, provided that you know enough Linear Algebra"
Peter Lax  -  Βραβείο Abel 2005
Ασκήσεις Προς Λύση      
Προτεινόμενες Ασκήσεις Προς Λύση
   1.    [1/3/2019]  -->   1o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση                                                                                      1.     [1/3/2019]  -->  1ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων                                                                                             
     2.    [8/3/2019]  -->   2o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     2.     [8/3/2019]  -->   2ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     3.  [23/3/2019]  -->   3ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     3.   [23/3/2019]  -->   3ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     4.  [26/3/2019]  -->   4ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     4.   [26/3/2019]   -->  4ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     5.  [19/4/2019]  -->   5ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     5.   [19/4/2019]   -->  5ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     6.  [10/5/2019]  -->   6ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     6.   [10/5/2019]   -->  6ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     7.  [17/5/2019]  -->   7ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     7.   [17/5/2019]   -->  7ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     8.  [24/5/2019]  -->   8ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     8.   [24/5/2019]   -->  8ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     9.  [31/5/2019]  -->   Ασκήσεις Επανάληψης
     9.   [31/5/2019]   -->  Προτεινόμενες Ασκήσεις Επανάληψης

  1.     [1/3/2019]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 1 
  2.     [8/3/2018]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 2
  3.   [23/3/2019]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 3
  4.   [26/3/2019]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 4
  5.   [19/4/2019]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 5  
  6.   [10/5/2019]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 6     
  7.   [17/5/2019]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 7
  8.   [24/5/2019]   -->   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 8
  9.   [31/5/2019]   -->   Λύσεις Ασκήσεων Επανάληψης
  1.     [1/3/2019]   -->   Πρόχειρη Δοκιμασία 1   &   Λύση
  2.     [8/3/2019]   -->   Πρόχειρη Δοκιμασία 2   &   Λύση
  3.   [23/3/2019]   -->   Πρόχειρη Δοκιμασία 3   &   Λύση
  4.   [26/3/2019]   -->   Πρόχειρη Δοκιμασία 4   &   Λύση
  5.   [19/4/2019]   -->   Πρόχειρη Δοκιμασία 5   &   Λύση 
  6.   [10/5/2019]   -->   Πρόχειρη Δοκιμασία 6   &   Λύση   
  7.   [17/5/2019]   -->   Πρόχειρη Δοκιμασία 7   &   Λύση 
  8.   [24/5/2019]  -->    Πρόχειρη Δοκιμασία 8   &   Λύση 
     Τετάρτη   19  Ιουνίου  2019,  ώρα:  09:00 - 12:00
Καλή Επιτυχία!
  1. Ιδιοτιμές.
  2. Ιδιοδιανύσματα.
  3. Ιδιοχώροι.
  4. Διαγωνοποίηση.
  5. Θεώρημα Cayley-Hamilton.
  6. Ευκλείδειοι Χώροι.
  7. Ορθογωνιότητα.
  8. Κανινικοποίηση Gram-Schmidt.
  9. Ορθογώνιοι πίνακες.
  10. Αυτοπροσαρτημένοι ενδομορφισμοί.
  11. Συμμετρικοί πίνακες.
  12. Φασματικό θεώρημα.
  13. Ισομετρίες.
  14. Τετραγωνικές μορφές.
  15. Κύριοι άξονες.
  16. Τετραγωνική ρίζα μη-αρνητικού πραγματικού συμμετρικού πίνακα.
  17. Μέτρο πίνακα.
  1. 1η   Εβδομάδα:  Εισαγωγή στις βασικές έννοιες και στους σκοπούς του μαθήματος. Υπενθυμίσεις από την Γραμμική 'Αλγεβρα Ι.  'Aθροισμα και ευθύ άθροισμα υπόχωρων.
  2. 2η   Εβδομάδα:  Βασικά Θεωρήματα και Εφαρμογές για το ευθύ άθροισμα υπόχωρων. Ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα και ιδιοχώροι. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο γραμμικής απεικόνισης και τετραγωνικού πίνακα.
  3. 3η   Εβδομάδα:  Βασικά Θεωρήματα για Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα. Υπενθυμίσεις από την θεωρία πολυωνύμων. Εισαγωγή στην Διαγωνοποίηση ενδομορφισμών και τετραγωνικών πινάκων.
  4. 4η   Εβδομάδα:  Αλγεβρική και Γεωμετρική Πολλαπλότητα Ιδιοτιμής. Βασικά Θεωρήματα Διαγωνοποίησης. Εφαρμογές στην εύρεση δύναμης πίνακα και στις αναγωγικές ακολουθίες.
  5. 5η   Εβδομάδα:  Τριγωνοποίηση Γραμμικών Απεικονίσεων και Τετραγωνικών Πινάκων. Πολυωνυμικοί πίνακες και πολυωνυμικές γραμμικές απεικονίσεις.
  6. 6η   Εβδομάδα:  Θεώρημα Cayley-Hamilton. Το ελάχιστο πολυώνυμο και οι εφαρμογές του. Κριτήριο διαγωνοποίησης με χρήση ελαχίστου πολυωνύμου και εφαρμογές στην εύρεση δύναμης πίνακα και αντιστρόφου αντιστρέψιμου πίνακα.
  7. 7η   Εβδομάδα:  Εσωτερικά Γινόμενα. Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγματα.  Ευκλείδειοι Χώροι. Παραδείγματα.   
  8. 8η   Εβδομάδα:  Ανισότητες Cauchy-Schwarz και Minkowski (τριγωνική ανισότητα). Γωνία διανυσμάτων. Ορθοκανονικά σύνολα και Ορθοκανονικές Βάσεις. Διαδικασία Gram-Schmidt. Ορθογώνιοι υπόχωροι  και Ορθογώνιο συμπλήρωμα υπόχωρου. 
  9. 9η   Εβδομάδα:  Ισομετρίες και Ορθογώνιοι πίνακες. Γεωμετρική ερμηνεία ισομετριών στο επίπεδο και στον χώρο.
  10. 10η Εβδομάδα:  Προσαρτημένη μιας γραμμικής απεικόνισης. Αυτοπροσαρτημένες γραμμικές απεικονίσεις και συμμετρικοί πίνακες. Ιδιοτιμές συμμετρικού πίνακα.
  11. 11η Εβδομάδα:  Το Φασματικό Θεώρημα και οι εφαρμογές του.
  12. 12η Εβδομάδα:  Θετικοί και μη-αρνητικοί ενδομορφισμοί και πίνακες. Τετραγωνική ρίζα ενδομορφισμού και πίνακα. Τετραγωνικές μορφές. 
  13. 13η Εβδομάδα:  Θεώρημα κυρίων αξόνων. Εφαρμογές στις δευτεροβάθμιες επιφάνειες. Μέτρο πίνακα.
  1.  Σχετικά Βιβλία στη Βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών                                                  
   2.   Χρήσιμοι Σύνδεσμοι 

(Ελεύθερα Βιβλία και Σημειώσεις Αφηρημένης Άλγεβρας στο διαδίκτυο, σε διάφορα επίπεδα δυσκολίας)
S. Lang: ''Introduction to Linear Algebra'',  Springer-Verlag, (1986).   
                  "Linear Algebra", Springer-Verlag (1987).		   1.  http://linear.ups.edu/download.html
L. Smith: ''Linear Algebra'', Springer-Verlag, (1978).   2.  http://www.numbertheory.org/book/
R. Kaye, R. Wilson: ''Linear Algebra'', Oxford University Press, (1998).   3.  http://www.math.hawaii.edu/%7Elee/linear/index.html
 O. Bretscher: ''Linear Algebra with Applications'', Prentice Hall, (2001).   4.  http://www.math.brown.edu/%7Etreil/papers/LADW/LADW.html
R. Larson, B. Edwards: ''Elementary Linear Algebra'', Heath, (1996).   5.  http://www.math.miami.edu/%7Eec/book/
C. Curtis: ''Linear Algebra: an introductiory approach'', Springer-Verlag, (1984).
   6.  http://euclid.ucc.ie/Mckay/linear-algebra/LinearAlgebra.pdf
W. Greub: ''Linear Algebra'', Springer, (1967).
   7.  http://shell.cas.usf.edu/~wclark/Elem_abs_alg.pdf
I. Herstein, and D. Winter: ''Matrix Theory and Linear Algebra'', Macmillan, (1988).   8.  http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/lnlafolder/lnla.html
I. Gelfand: ''Lectures on Linear Algebra'', Interscience, (1961).
  9.  http://linear.axler.net
J. Munkres: ''Elementary Linear Algebra'', Addison-Wesley, (1964).  10. http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/
K. Hoffman, and R. Kunze: ''Linear Algebra", Prentice-Hall, (1965).
  11. https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm


Τελευταία Τροποποίηση:  31  Μαΐου  2019