421:   ΘΕΩΡΙΑ  ΑΡΙΘΜΩΝ

Ακαδημαϊκό Έτος  2012 - 2013

Ιστοσελίδα Μαθήματος:   http://users.uoi.gr/abeligia/NumberTheory/NT2013NT2013.html

Γενικές Πληροφορίες


                                                                 Τμήμα Α'            
                                                     Τμήμα Β'                            
  • Τρίτη:  9 - 12:  Αίθουσα 010, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Τρίτη:  9 - 12:  Αίθουσα 011, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Τετάρτη:  10 - 12:  Αίθουσα 010, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Ασκήσεις.
  • Τετάρτη:  10 - 12:  Αίθουσα 011, (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Ασκήσεις.


Για περισσότερα βιβλία και σημειώσεις σχετικά με το μάθημα, βλέπε παρακάτω στο τέλος της ιστοσελίδας.
Ανακοινώσεις   
  1. [ 11 Φεβρουαρίου 2013 ]:  Η έναρξη της διδασκαλίας του μαθήματος θα πραγματοποιηθεί την  Τετάρτη 13 Φεβρουαρίου 2013,  ώρα:  10:00 - 12:00.
  2. [ 19 Φεβρουαρίου 2013 ]:  Ανακοίνωση δήλωσης μαθημάτων εαρινού εξαμήνου και συγγραμάτων.  
  3. [10 Απριλίου 2013]:  Το Σάββατο 13 Απριλίου 2013, και ώρα: 11-13, θα γίνει αναπλήρωση μαθήματος. 
  4. [17 Απριλίου 2013]:  Το Σάββατο 20 Απριλίου 2013, και ώρα: 11-13, θα γίνει αναπλήρωση μαθήματος.
  5. [25 Μαίου 2013]:  Προστέθηκε (βλέπε παρακάτω): ολόκληρο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος σε ένα αρχείο 187 σελίδων, το οποίο περιέχει:  (a)  τα 9 Φυλλάδια Ασκήσεων,   (b)  τα 9 Φυλλάδια Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση,   (c)  τα 9 Φυλλάδια Επίλυσης Ασκήσεων,   (d)  επιπρόσθετο εκπαιδευτικό υλικό (Θεωρητικά Θέματα).  Συνολικά περιέχονται 228 ασκήσεις, εκ των οποίων 113 υποδειγματικά λυμένες.  
  6. Καλή Επιτυχία στις εξετάσεις!

Ιστορικά Στοιχεία & Ιστότοποι


Για Ιστορικά Στοιχεία, βλέπε τους σχετικούς ιστότοπους:

Ενδιαφέροντες  Ιστότοποι και Χρήσιμα Αρχεία:


Σκοποί του Μαθήματος


Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η μελέτη της δομής και των βασικών ιδιοτήτων του συνόλου των φυσικών αριθμών

                                                                                      ΙΝ = {1,2,3,4, . . .  }

και γενικότερα του συνόλου των ακεραίων ή/και των ρητών αριθμών.   Η θεμελιώδης  έννοια μέσω της οποίας επιτυγχάνεται αυτή η μελέτη είναι η διαιρετότητα φυσικών αριθμών και η ανάλυση ενός φυσικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες.

Οι κυριότερες από τις βασικές έννοιες και ιδέες οι οποίες  μας επιτρέπουν τη κατανόηση της δομής και των θεμελιωδών ιδιοτήτων του συνόλου των φυσικών αριθμών, είναι οι εξής (Λέξεις-Κλειδιά του μαθήματος):
Το μάθημα αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά αποτελέσματα, στις βασικές μεθόδους, και  στα βασικά προβλήματα της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών, και δεν απαιτεί γνώσεις από άλλα μαθήματα του προγράμματος σπουδών. Τέλος κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα αναλυθούν εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών σε άλλες επιστήμες, και ιδιαίτερα στην Κρυπτογραφία. 
Φυλλάδια Ασκήσεων
                                Φυλλάδια Ασκήσεων                                                                                                 
                     Προτεινόμενες Ασκήσεις Προς Λύση                            
1.     [27/2/2013]        1o Φυλλάδιο Ασκήσεων                                                                  
1.   [27/2/2013]       1o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση                                                  
2.      [6 /3/2013]        2o Φυλλάδιο Ασκήσεων 2.     [6/3/2013]       2o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
3.     [13/3/2013]        3o Φυλλάδιο Ασκήσεων 3.   [13/3/2013]       3o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
4.     [27/3/2013]        4o Φυλλάδιο Ασκήσεων 4.   [27/3/2013]       4o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
5.     [10/4/2013]        5o Φυλλάδιο Ασκήσεων 5.   [10/4/2013]       5o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
6.     [20/4/2013]        6o Φυλλάδιο Ασκήσεων 6.   [20/4/2013]       6o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση   
7.     [15/5/2013]        7o Φυλλάδιο Ασκήσεων 7.   [15/5/2013]       7o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
8.     [22/5/2013]        8o Φυλλάδιο Ασκήσεων 8.   [22/5/2013]       8o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση

                                                                                                                                 Ασκήσεις  Επανάληψης
                                                                                                                        Ασκήσεις Επανάληψης Προς Λύση

Επίλυση Επιλεγμένων Ασκήσεων
  1.   [7/3/2013]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 1  
  2. [15/3/2013]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 2
  3.   [2/4/2013]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 3
  4. [11/4/2013]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 4
  5. [19/4/2013]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 5
  6. [25/4/2013]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 6
  7. [18/5/2013]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 7
  8. [25/5/2013]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 8
  9. [25/5/2013]   Λύσεις Φυλλαδίου Επαναληπτικών Ασκήσεων

Θεωρητικά Θέματα
  1. Θεωρητικά Θέματα
Εκπαιδευτικό Υλικό Μαθήματος σε ένα αρχείο:

Ο ακόλουθος σύνδεσμος  περιέχει όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος συγκεντρωμένο σε ένα αρχείο.

Βασικά Στοιχεία της Ύλης του Μαθήματος  (και ανα Εβδομάδα Διδασκαλίας)
  1. Εισαγωγή. Ιστορικά Στοιχεία. Σύνολα αριθμών. Μαθηματική Επαγωγή.
  2. Διαιρετότητα. Πρώτοι Αριθμοί. Κόσκινο του Ερατοσθένη. b-αδικές παραστάσεις αριθμών.  Κριτήρια διαιρετότητας και κριτήρια για το πότε ένας αριθμός είναι πρώτος.
  3. Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο. Ευκλείδειος Αλγόριθμος.
  4. Εισαγωγή στις Διοφαντικές Εξισώσεις. Επίλυση στοιχειωδών γραμμικών διοφαντικών εξισώσεων. 
  5. Αριθμητικές Συναρτήσεις. Δομή και βασικές ιδιότητες του συνόλου των αριθμητικών συναρτήσεων.
  6. Τύπος αντιστροφής του Moebius. Οι συναρτήσεις μ, τ, σ, και η συνάρτηση φ του Euler.
  7. Τέλειοι αριθμοί, Φίλιοι αριθμοί, Πρώτοι του Mersenne, και πρώτοι του Fermat.
  8. Ισοτιμίες. Βασικές Ιδιότητες Γραμμικών Ισοτιμιών. Θεωρήματα Fermat, Euler και Wilson.
  9. Συστήματα γραμμικών ισοτιμιών.  Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων.
  10. Επίλυση γενικού συστήματος γραμμικών ισοτιμιών.
  11. Πρωταρχικές ρίζες. Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών στην Κρυπτογραφία.
Η Ύλη του Μαθήματος σύμφωνα με τον Οδηγό Σπουδών
  1. 1η  Εβδομάδα: Εισαγωγή στην Θεωρία Αριθμών. Ιστορικά Στοιχεία. Σύνολα αριθμών. Μαθηματική Επαγωγή. 
  2. 2η  Εβδομάδα: Διαιρετότητα ακεραίων αριθμών. Βασικά θεωρήματα και εφαρμογές. Ευκλείδεια Διαίρεση. Παραδείγματα. Πρώτοι Αριθμοί.
  3. 3η  Εβδομάδα: Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα περί πρώτων αριθμών. Κόσκινο Ερατοσθένη.  b-αδικές παραστάσεις αριθμών, b > 1. Κριτήρια Διαιρετότητας. Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής, πρωτογενής ανάλυση.  Εφαρμογές. 
  4. 4η  Εβδομάδα:  Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης, Αλγόριθμος του Ευκλείδη.
  5. 5η  Εβδομάδα: Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο. Γραμμικές Διοφαντικές Εξισώσεις. 
  6. 6η  Εβδομάδα: Αριθμητικές Συναρτήσεις. Ενελικτικό γινόμενο αριθμητικών συναρτήσεων. Ενελικτικά αντιστρέψιμες και πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις. Παραδείγματα και βασικές ιδιότητες.
  7. 7η  Εβδομάδα:  Η συνάρτηση του Moebius και  ο τύπος αντιστροφής του Moebius. Η συνάρτηση του Euler. Εφαρμογές.
  8. 8η  Εβδομάδα:  Φίλιοι και Τέλειοι αριθμοί. Πρώτοι του Mersenne  και πρώτοι του Fermat. Ανοιχτά προβλήματα της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών.  Εισαγωγή στη γενική θεωρία ισοτιμιών. Βασικές ιδιότητες και παραδείγματα.       
  9. 9η  Εβδομάδα:  Ο Δακτύλιος Z_n των ακεραίων mod n. Συστήματα υπολοίπων mod n. Τα Θεωρήματα Fermat, και Euler. 
  10. 10η Εβδομάδα:  Θεώρημα του Wilson. Τάξεις Ακεραίων mod n. Εφαρμογές.  Εισαγωγή στις Γραμμικές Ισοτιμίες. Επίλυση γραμμικών ισοτιμιών.
  11. 11η Εβδομάδα: Συστήματα Γραμμικών  Ισοτιμιών. Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων. Εφαρμογές.
  12. 12η Εβδομάδα: Επίλυση συστήματος γραμμικών ισοτιμιών: η γενική περίπτωση. Εφαρμογές..
  13. 13η Εβδομάδα: Πρωταρχικές ρίζες. Παραδείγματα και Εφαρμογές. Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών στην Κρυπτογραφία. 
Γραπτή Εξέταση:  Η γραπτή εξέταση του μαθήματος θα πραγματοποιηθεί την:
     
                                                                                                  Παρασκευή  31 Μαίου 2013,  ώρα:  09:00 - 12:00

Βιβλιογραφία και Χρήσιμοι Σύνδεσμοι


Σχετικά Βιβλία στη Βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών
 Χρήσιμοι Σύνδεσμοι 

(Ελεύθερα Βιβλία και Σημειώσεις Θεωρίας Αριθμών στο Διαδίκτυο)                
1.  Niven I., Zuckerman H.S. and Montgomery H.L. :  ''An Introduction to the Theory
of Numbers'',  5ed., Wiley, 1991).
 1.   L. Moser: "An Introduction to the Theory of Numbers"
2.  K.T. Rosen: ''Elementary Number Theory and its Applications'', 5ed. Pearson, (2005). 2.   V. Shoup: "A Computational Introduction to Number Theory and Algebra"
3.  J.H. Silverman: ''A friendly Introduction to Number Theory'', 4ed. Pearson, (2012). 3.   Γ. Αντωνιάδης: "Θεωρία Αριθμών κατά τον 17ο και 18ο Αιώνα"
4.  M.B. Nathanson: ''Elementary Methods in Number Theory'', Springer, (2000). 4.   Ν. Τζανάκης: "Θεμελιώδης Θεωρία Αριθμών"
5.  J.J. Tattersall: "Elementary Number Theory in Nine Chapters", CUP, (1999). 5.   Α. Γιαννόπουλος: "Θεωρία Αριθμών"
6.  G.A. Jones and J.M. Jones: ''Elementary Number Theory'', Springer, (1998). 6.   W. Clark: "Elementary Number Theory"
7.  H.M. Stark: ''An Introduction to Number Theory'', MIT Press, (1998). 7.   W. Stein: "Elementary Number Theory: Primes, Congruences and Secrets"
8.  P. Ribenboim: ''My Numbers, My Friends'',  Springer,  (2000).
 8.   W. Chen: "Elementary Number Theory"
9.  D. Burton: ''Elementary Number Theory'',  McGraw Hill, (2005).  9.   B. Ikenaga: "Notes on Elementary Number Theory"
10.  G. Everest and T. Ward: ''An Introduction to Number Theory'', Springer, (2006).
10.  M. Stoll: "Introductory Number Theory"
11.  D. Redmond: ''Number Theory: An Introduction'', CRC Press, (1996).
 11.  W. Stein: "An Explicit Approach to Number Theory"
12.  W.J. LeVeque: ''Elementary Theory of Numbers", Dover, (1990). 12.  L.-A. Lindahl: "Lectures on Number Theory"
13.  Δ. Δεριζιώτης: "Μια εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών" (Εκδόσεις Σοφία). 13.  P. Cameron: "A Course in Number Theory"


Τελευταία Τροποποίηση:   19 Μαίου 2013.