421:   ΘΕΩΡΙΑ  ΑΡΙΘΜΩΝ

Ακαδημαϊκό Έτος  2014 - 2015

Γενικές Πληροφορίες


                                                                 Τμήμα Α'   

                                                 Διδάσκων:  Ε. Κεχαγιάς                             
                                                     Τμήμα Β'

                                Διδάσκων:  Α. Μπεληγιάννης                          
  • Πέμπτη:   9 - 12:  Αίθουσα 010,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Πέμπτη:  9 - 12:   Αίθουσα 012,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Θεωρία.
  • Δευτέρα:  9 - 11:  Αίθουσα 010,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Ασκήσεις.
  • Δευτέρα:  9 - 11:   Αίθουσα 012,  (ισόγειο Τμήματος Μαθηματικών)
    • Ασκήσεις.

Το εκπαιδευτικό υλικό το οποίο ακολουθεί αφορά το Τμήμα Β'


Για περισσότερα βιβλία και σημειώσεις σχετικά με το μάθημα, βλέπε παρακάτω στο τέλος της ιστοσελίδας.
Ανακοινώσεις   
  1. Πέμπτη   12/2/2015:  Η έναρξη της διδασκαλίας του μαθήματος πραγματοποιήθηκε την Πέμπτη 12 Φεβρουαρίου 2015, ώρα: 9:00.
  2. Τετάρτη  18/2/2015:  Σύμφωνα με τον Οδηγό Σπουδών την Πέμπτη 19 Φεβρουαρίου και την Δευτέρα 23 Φεβρουαρίου δεν θα πραγματοποιηθούν μαθήματα, λόγω των διακοπών της Αποκριάς.
  3.     Τρίτη  26/2/2015:  Την Παρασκευή 29 Μαίου, ώρα 9-11,  θα πραγματοποιηθεί στην αίθουσα 012 επιπρόσθετο μάθημα ασκήσεων (αφορά τους φοιτητές του Τμήματος Β').

Ιστορικά Στοιχεία & Ιστότοποι


Για Ιστορικά Στοιχεία, βλέπε τους σχετικούς ιστότοπους:

Ενδιαφέροντες  Ιστότοποι και Χρήσιμα Αρχεία:


Σκοποί του Μαθήματος


Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η μελέτη της δομής και των βασικών ιδιοτήτων του συνόλου των φυσικών αριθμών

                                                                                           ΙΝ = {1,2,3,4, . . .  }

και γενικότερα του συνόλου των ακεραίων ή/και των ρητών αριθμών.   Η θεμελιώδης  έννοια μέσω της οποίας επιτυγχάνεται αυτή η μελέτη είναι η διαιρετότητα φυσικών αριθμών και η ανάλυση ενός φυσικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες.

Οι κυριότερες από τις βασικές έννοιες και ιδέες οι οποίες  μας επιτρέπουν τη κατανόηση της δομής και των θεμελιωδών ιδιοτήτων του συνόλου των φυσικών αριθμών, είναι οι εξής (Λέξεις-Κλειδιά του μαθήματος):
Θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε διάφορα θεωρήματα τα οποία αφορούν την δομή του συνόλου των ακεραίων αριθμών με βάση την έννοια της διαιρετότητας. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα αναλυθούν εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών σε άλλες επιστήμες, και ιδιαίτερα στην Κρυπτογραφία.  

Το μάθημα αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά αποτελέσματα, στις βασικές μεθόδους, και  στα βασικά προβλήματα της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών, και δεν απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις από άλλα μαθήματα του προγράμματος σπουδών.
Φυλλάδια Ασκήσεων
                     Φυλλάδια Ασκήσεων  προς Λύση                                   
                                     Προτεινόμενες Ασκήσεις Προς Λύση 
1.     [2/3/2015]        1o Φυλλάδιο Ασκήσεων        
1.     [2/3/2015]       1o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση                           
2.   [16/3/2015]        2o Φυλλάδιο Ασκήσεων 2.   [16/3/2015]       2o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση    
3.   [23/3/2015]        3o Φυλλάδιο Ασκήσεων 3.   [23/3/2015]       3o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
4.   [30/3/2015]        4o Φυλλάδιο Ασκήσεων 4.   [30/3/2015]       4o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
5.   [27/4/2015]        5o Φυλλάδιο Ασκήσεων 5.   [27/4/2015]       5o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση  
6.     [7/5/2015]        6o Φυλλάδιο Ασκήσεων 6.     [7/5/2015]       6o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
7.   [18/5/2015]        7o Φυλλάδιο Ασκήσεων 7.   [18/5/2015]       7o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση
8.   [25/5/2015]        8o Φυλλάδιο Ασκήσεων 8.   [25/5/2015]       8o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση 
9.   [29/5/2015]        9o Φυλλάδιο Ασκήσεων 9.   [29/5/2015]       9o Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων Προς Λύση  

                                                                                                                                                           Ασκήσεις  Επανάληψης
                                                                                                                                                  Ασκήσεις Επανάληψης Προς Λύση

Επίλυση Επιλεγμένων Ασκήσεων
  1.     [2/3/2015]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 1 
  2.   [16/3/2015]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 2
  3.   [23/3/2015]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 3
  4.   [30/3/2015]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 4 
  5.   [27/4/2015]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 5  
  6.     [7/5/2015]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 6  
  7.   [18/5/2015]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 7
  8.   [25/5/2015]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 8
  9.   [29/5/2015]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 9
  10.     [2/6/2015]   Λύσεις Ασκήσεων Επανάληψης

Θεωρητικά Θέματα

Ο ακόλουθος σύνδεσμος,  ο οποίος θα ενεργοποιηθεί σύντομα,  περιέχει επιλεγμένα θεωρητικά θέματα τα οποία παρουσιάζουν αυξημένο ενδιαφέρον.  
  1. Θεωρητικά Θέματα 2014-2015
Εκπαιδευτικό Υλικό Μαθήματος σε ένα αρχείο:

Ο ακόλουθος σύνδεσμος  ο οποίος θα ενεργοποιηθεί μετά το τέλος των μαθημάτων,  περιέχει όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος συγκεντρωμένο σε ένα αρχείο.

Βασικά Στοιχεία της Ύλης του Μαθήματος  (και ανα Εβδομάδα Διδασκαλίας)
  1. Εισαγωγή. Ιστορικά Στοιχεία. Σύνολα αριθμών. Μαθηματική Επαγωγή.
  2. Διαιρετότητα. Πρώτοι Αριθμοί. Κόσκινο του Ερατοσθένη. b-αδικές παραστάσεις αριθμών.  Κριτήρια διαιρετότητας και κριτήρια για το πότε ένας αριθμός είναι πρώτος.
  3. Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο. Ευκλείδειος Αλγόριθμος.
  4. Εισαγωγή στις Διοφαντικές Εξισώσεις. Επίλυση στοιχειωδών γραμμικών διοφαντικών εξισώσεων. 
  5. Αριθμητικές Συναρτήσεις. Δομή και βασικές ιδιότητες του συνόλου των αριθμητικών συναρτήσεων.
  6. Τύπος αντιστροφής του Moebius. Οι συναρτήσεις μ, τ, σ, και η συνάρτηση φ του Euler.
  7. Τέλειοι αριθμοί, Φίλιοι αριθμοί, Πρώτοι του Mersenne, και πρώτοι του Fermat.
  8. Ισοτιμίες. Βασικές Ιδιότητες Γραμμικών Ισοτιμιών. Θεωρήματα Fermat, Euler και Wilson.
  9. Συστήματα γραμμικών ισοτιμιών.  Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων.
  10. Επίλυση γενικού συστήματος γραμμικών ισοτιμιών.
  11. Πρωταρχικές ρίζες. Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών στην Κρυπτογραφία.
Η Ύλη του Μαθήματος σύμφωνα με τον Οδηγό Σπουδών
  1.   1η  Εβδομάδα:  Εισαγωγή στην Θεωρία Αριθμών. Προβλήματα και Ιστορικά Στοιχεία. Σύνολα αριθμών. Μαθηματική Επαγωγή.  Εισαγωγή στη διαιρετότητα ακεραίων αριθμών. 
  2.   2η  Εβδομάδα:  Διαιρετότητα ακεραίων αριθμών. Βασικά Θεωρήματα και εφαρμογές. Ευκλείδεια Διαίρεση. Πρώτοι Αριθμοί.  Βασικές ιδιότητες και παραδείγματα. Κόσκινο του Ερατοσθένη.
  3.   3η  Εβδομάδα:  Λήμμα του Ευκλείδη. Πρωτογενής ανάλυση θετικού ακεραίου σε πρώτους παράγοντες. Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής. Κριτήρια διαιρετότητας. Εφαρμογές.
  4.   4η  Εβδομάδα:  Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ακεραίων αριθμών. Βασικές ιδιότητες και παραδείγματα.
  5.   5η  Εβδομάδα:  Αλγόριθμος του Ευκλείδη.  Επίλυση γραμμικών Διοφαντικών εξισώσεων.  Παραδείγματα και Εφαρμογές.
  6.   6η  Εβδομάδα:  Αριθμητικές συναρτήσεις. Ενελικτικό γινόμενο. Δομή του συνόλου των αριθμητικών συναρτήσεων. Ενελικτικά αντιστρέψιμες συναρτήσεις.  Παραδείγματα και Εφαρμογές.
  7.   7η  Εβδομάδα:  Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις. Τύπος αντιστροφής του Moebius. Οι συναρτήσεις μ, τ, σ, και η συνάρτηση φ του Euler.  Παραδείγματα και εφαρμογές.
  8.   8η  Εβδομάδα:  Βασικές ιδιότητες της  συνάρτησης του Euler και εφαρμογές. Τέλειοι αριθμοί, Φίλιοι αριθμοί, Πρώτοι του Mersenne, και πρώτοι του Fermat.
  9.   9η  Εβδομάδα:   Ισοτιμίες: βασικές  ιδιότητες και παραδείγματα. Ο δακτύλιος των κλάσεων υπολοίπων mod n. Πλήρη και αναγμένα συστήματα υπολοίπων mod n. 
  10. 10η  Εβδομάδα:   Τα Θεωρήματα Euler, Fermat, και Wilson. Εφαρμογές και παραδείγματα. Γραμμικές Ισοτιμίες. Επίλυση γραμμικών ισοτιμιών. Βασικά θεωρήματα
  11. 11η  Εβδομάδα:   Γραμμικές Ισοτιμίες. Επίλυση γραμμικών ισοτιμιών. Βασικά θεωρήματα, παραδείγματα  και εφαρμογές. Συστήματα Γραμμικών Ισοτιμιών.
  12. 12η  Εβδομάδα:  Επίλυση σύστημάτων γραμμικών ισοτιμιών. Βασικά θεωρήματα, παραδείγματα και εφαρμογές. Τάξεις στοιχείων και δείκτες: βασικές ιδιότητες και παραδείγματα.
  13. 13η  Εβδομάδα:  Πρωταρχικές Ρίζες. Ύπαρξη πρωταρχικών ριζών, βασικές ιδιότητες και παραδείγματα. Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία.
Γραπτή Εξέταση:  Η γραπτή εξέταση του μαθήματος θα πραγματοποιηθεί την:

                                                                                                                                           Τετάρτη  10 Ιουνίου 2015,   ώρα: 09:00 - 12:00                                                                                          

Βιβλιογραφία και Χρήσιμοι Σύνδεσμοι


Σχετικά Βιβλία στη Βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών
 Χρήσιμοι Σύνδεσμοι    

(Ελεύθερα Βιβλία και Σημειώσεις Θεωρίας Αριθμών στο Διαδίκτυο)                
1.  Niven I., Zuckerman H.S. and Montgomery H.L. :  ''An Introduction to the Theory
of Numbers'',  5ed., Wiley, 1991).
 1.   L. Moser: "An Introduction to the Theory of Numbers"
2.  K.T. Rosen: ''Elementary Number Theory and its Applications'', 5ed. Pearson, (2005). 2.   V. Shoup: "A Computational Introduction to Number Theory and Algebra"
3.  J.H. Silverman: ''A friendly Introduction to Number Theory'', 4ed. Pearson, (2012). 3.   Γ. Αντωνιάδης: "Θεωρία Αριθμών κατά τον 17ο και 18ο Αιώνα"
4.  M.B. Nathanson: ''Elementary Methods in Number Theory'', Springer, (2000). 4.   Ν. Τζανάκης: "Θεμελιώδης Θεωρία Αριθμών"
5.  J.J. Tattersall: "Elementary Number Theory in Nine Chapters", CUP, (1999). 5.   Α. Γιαννόπουλος: "Θεωρία Αριθμών"
6.  G.A. Jones and J.M. Jones: ''Elementary Number Theory'', Springer, (1998). 6.   W. Clark: "Elementary Number Theory"
7.  H.M. Stark: ''An Introduction to Number Theory'', MIT Press, (1998). 7.   W. Stein: "Elementary Number Theory: Primes, Congruences and Secrets"
8.  P. Ribenboim: ''My Numbers, My Friends'',  Springer,  (2000).
 8.   W. Chen: "Elementary Number Theory"
9.  D. Burton: ''Elementary Number Theory'',  McGraw Hill, (2005).  9.   B. Ikenaga: "Notes on Elementary Number Theory"
10.  G. Everest and T. Ward: ''An Introduction to Number Theory'', Springer, (2006).
10.  M. Stoll: "Introductory Number Theory"
11.  D. Redmond: ''Number Theory: An Introduction'', CRC Press, (1996).
 11.  W. Stein: "An Explicit Approach to Number Theory"
12.  W.J. LeVeque: ''Elementary Theory of Numbers", Dover, (1990). 12.  L.-A. Lindahl: "Lectures on Number Theory"
13.  Δ. Δεριζιώτης: "Μια εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών" (Εκδόσεις Σοφία). 13.  P. Cameron: "A Course in Number Theory"


Τελευταία Τροποποίηση:   2  Ιουνίου  2015