123:   ΘΕΩΡΙΑ  ΑΡΙΘΜΩΝ

Ακαδημαϊκό Έτος  2016 - 2017

Γενικές Πληροφορίες


                                                                 Τμήμα Α'   

                                                 Διδάσκων:  Ε. Κεχαγιάς                             
                                                     Τμήμα Β'

                                Διδάσκων:  Α. Μπεληγιάννης                          
  • Τρίτη:  12 - 14:   Αίιθουσα 10
    • Θεωρία + Ασκήσεις.
  • Τρίτη:  12 - 14:   Αίθουσα 12
    • Θεωρία+Ασκήσεις.
  • Παρασκευή:   09 - 11:   Αίθουσα 10
    • Θεωρία + Ασκήσεις.
  • Τετάρτη:  12 - 14:   Αίθουσα 12
    • Ασκήσεις+Ασκήσεις.

--->  Το εκπαιδευτικό υλικό το οποίο ακολουθεί αφορά το Τμήμα Β'

Για περισσότερα βιβλία και σημειώσεις σχετικά με το μάθημα, βλέπε παρακάτω στο τέλος της ιστοσελίδας.
Ανακοινώσεις   
  1. Δευτέρα   3/10/2016:  Η έναρξη της διδασκαλίας του μαθήματος πραγματοποιήθηκε την Τρίτη 4 Οκτωβρίου 2016, ώρα:  12:00.
  2. Δευτέρα   8/11/2016:  Το μάθημα της Τρίτης 8 Νοεμβρίου 2016 αναβάλλεται. Η διδασκαλία του μαθήματος θα πραγματοποιηθεί  την Πέμπτη 10 Νοεμβρίου 2016, ώρα:  12:00 στην αίθουσα 12.
  3. Παρασκευή 2/12/2016: Προστέθηκε μια 'Aσκηση, η 'Aσκηση  10, στο Φυλλάδιο Ασκήσεων 5.
  4. Τρίτη 20/12/2016:  Το μάθημα της Τετάρτης 21/12/2016 δεν θα πραγματοποιηθεί, λόγω ασθένειας του διδάσκοντα.  Η αναπλήρωσή του μαθήματος θα γίνει μετά τις γιορτές.
  5. Τετάρτη 18/1/2017:  Την  Παρασκευή 20/11/2017, ώρα 18:00-21:00 θα πραγματοποιηθεί αναπλήρωση μαθήματος (πρόκειται για την τελευταία παράδοση του μάθήματος).


Ιστορικά Στοιχεία & Ιστότοποι


Για Ιστορικά Στοιχεία, βλέπε τους σχετικούς ιστότοπους:

Ενδιαφέροντες  Ιστότοποι και Χρήσιμα Αρχεία:


Σκοποί του Μαθήματος


Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η μελέτη της δομής και των βασικών ιδιοτήτων του συνόλου των φυσικών αριθμών

                                                                                           ΙΝ = {1,2,3,4, . . .  }

και γενικότερα του συνόλου των ακεραίων ή/και των ρητών αριθμών.   Η θεμελιώδης  έννοια μέσω της οποίας επιτυγχάνεται αυτή η μελέτη είναι η διαιρετότητα φυσικών αριθμών και η ανάλυση ενός φυσικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες.

Οι κυριότερες από τις βασικές έννοιες και ιδέες οι οποίες  μας επιτρέπουν τη κατανόηση της δομής και των θεμελιωδών ιδιοτήτων του συνόλου των φυσικών αριθμών, είναι οι εξής (Λέξεις-Κλειδιά του μαθήματος):
Θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε διάφορα θεωρήματα τα οποία αφορούν την δομή του συνόλου των ακεραίων αριθμών με βάση την έννοια της διαιρετότητας. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα αναλυθούν εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών σε άλλες επιστήμες, και ιδιαίτερα στην Κρυπτογραφία.  

Το μάθημα αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά αποτελέσματα, στις βασικές μεθόδους, και  στα βασικά προβλήματα της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών, και δεν απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις από άλλα μαθήματα του προγράμματος σπουδών.
Φυλλάδια Ασκήσεων
                     Φυλλάδια Ασκήσεων  προς Λύση                                   
                                     Προτεινόμενες Ασκήσεις Προς Λύση 
1.     [Πέμπτη 13/10/2016 ]              1ο  Φυλλάδιο  Ασκήσεων
 1.      [Πέμπτη 13/10/2016]           1ο  Φυλλάδιο  Προτεινόμενων  Ασκήσεων  Προς  Λύση
2.     [Πέμπτη 27/10/2016 ]              2ο  Φυλλάδιο  Ασκήσεων 2.      [Πέμπτη 27/10/2016]           2ο  Φυλλάδιο  Προτεινόμενων  Ασκήσεων  Προς  Λύση  
3.         [Πέμπτη 3/11/2016]             3ο  Φυλλάδιο  Ασκήσεων 3.        [Πέμπτη 3/11/2016]           3ο  Φυλλάδιο  Προτεινόμενων  Ασκήσεων  Προς  Λύση 
4.       [Πέμπτη 10/11/2016]             4ο  Φυλλάδιο  Ασκήσεων 4.      [Πέμπτη 10/11/2016]           4ο  Φυλλάδιο  Προτεινόμενων  Ασκήσεων  Προς  Λύση 
5.       [Πέμπτη 16/11/2016]             5ο  Φυλλάδιο  Ασκήσεων 5.      [Πέμπτη 16/11/2016]           5ο  Φυλλάδιο  Προτεινόμενων  Ασκήσεων  Προς  Λύση
6.       [Πέμπτη 23/11/2016]             6ο  Φυλλάδιο  Ασκήσεων 6.      [Πέμπτη 23/11/2016]           6ο  Φυλλάδιο  Προτεινόμενων  Ασκήσεων  Προς  Λύση
7.         [Πέμπτη 7/12/2016]             7ο  Φυλλάδιο  Ασκήσεων 7.        [Πέμπτη 7/12/2016]           7ο  Φυλλάδιο  Προτεινόμενων  Ασκήσεων  Προς  Λύση
8.       [Πέμπτη 22/12/2016]             8ο  Φυλλάδιο  Ασκήσεων 8.      [Πέμπτη 22/12/2016]           8ο  Φυλλάδιο  Προτεινόμενων  Ασκήσεων  Προς  Λύση
9.         [Πέμπτη 12/1/2017]             9ο  Φυλλάδιο  Ασκήσεων 9.        [Πέμπτη 12/1/2017]           9ο  Φυλλάδιο  Προτεινόμενων  Ασκήσεων  Προς  Λύση

                                                                                                                                                           Ασκήσεις  Επανάληψης
                                                                                                                                                  Ασκήσεις Επανάληψης Προς Λύση

Επίλυση Επιλεγμένων Ασκήσεων
  1.     [Πέμπτη 13/10/2016]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 1 
  2.     [Πέμπτη 27/10/2016]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 2 
  3.       [Πέμπτη 3/11/2016]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 3  
  4.     [Πέμπτη 10/11/2016]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 4
  5.     [Πέμπτη 16/11/2016]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 5
  6.     [Πέμπτη 23/11/2016]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 6
  7.       [Πέμπτη 7/12/2016]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 7
  8.     [Πέμπτη 22/12/2016]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 8
  9.       [Πέμπτη 12/1/2017]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 9
  10.       [Πέμπτη 19/1/2017]   Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων Επανάληψης

Θεωρητικά Θέματα

Ο ακόλουθος σύνδεσμος,  ο οποίος είναι σε συνεχή επεξεργασία,  περιέχει σε ηλεκτρονική μορφή επιλεγμένα θεωρητικά θέματα τα οποία παρουσιάζουν αυξημένο ενδιαφέρον.  
  1. Θεωρητικά Θέματα 2016-2017
Εκπαιδευτικό Υλικό Μαθήματος σε ένα αρχείο:

Ο ακόλουθος σύνδεσμος  ο οποίος θα ενεργοποιηθεί μετά το τέλος των μαθημάτων,  περιέχει όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος συγκεντρωμένο σε ένα αρχείο.

Βασικά Στοιχεία της Ύλης του Μαθήματος  (και ανα Εβδομάδα Διδασκαλίας)
  1. Εισαγωγή. Ιστορικά Στοιχεία. Σύνολα αριθμών. Μαθηματική Επαγωγή.
  2. Διαιρετότητα. Πρώτοι Αριθμοί. Κόσκινο του Ερατοσθένη. b-αδικές παραστάσεις αριθμών.  Κριτήρια διαιρετότητας και κριτήρια για το πότε ένας αριθμός είναι πρώτος.
  3. Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο. Ευκλείδειος Αλγόριθμος.
  4. Εισαγωγή στις Διοφαντικές Εξισώσεις. Επίλυση στοιχειωδών γραμμικών διοφαντικών εξισώσεων. 
  5. Αριθμητικές Συναρτήσεις. Δομή και βασικές ιδιότητες του συνόλου των αριθμητικών συναρτήσεων.
  6. Τύπος αντιστροφής του Moebius. Οι συναρτήσεις μ, τ, σ, και η συνάρτηση φ του Euler.
  7. Τέλειοι αριθμοί, Φίλιοι αριθμοί, Πρώτοι του Mersenne, και πρώτοι του Fermat.
  8. Ισοτιμίες. Βασικές Ιδιότητες Γραμμικών Ισοτιμιών. Θεωρήματα Fermat, Euler και Wilson.
  9. Συστήματα γραμμικών ισοτιμιών.  Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων.
  10. Επίλυση γενικού συστήματος γραμμικών ισοτιμιών.
  11. Πρωταρχικές ρίζες. Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών στην Κρυπτογραφία.
Η Ύλη του Μαθήματος σύμφωνα με τον Οδηγό Σπουδών
  1.   1η  Εβδομάδα:  Εισαγωγή στην Θεωρία Αριθμών. Ιστορικά Στοιχεία. Προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών. Σύνολα αριθμών. Αρχή Καλής Διάταξης και Αρχή Μαθηματικής Επαγωγής.
  2.   2η  Εβδομάδα:  Εισαγωγή στη διαιρετότητα ακεραίων αριθμών. Ευκλείδεια Διαίρεση. Βασικά Θεωρήματα και εφαρμογές.
  3.   3η  Εβδομάδα:  Πρώτοι Αριθμοί. Κόσκινο του Ερατοσθένη. Λήμμα του Ευκλείδη. Πρωτογενής Ανάλυση θετικού ακέραιου σε πρώτους παράγοντες.
  4.   4η  Εβδομάδα:  Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ακέραιων αριθμών. Βασικές ιδιότητες και παραδείγματα.
  5.   5η  Εβδομάδα:  Ευκλείδειος Αλγόριθμος. Διοφαντικές Εξισώσεις. Επίλυση γραμμικών Διοφαντικών Εξισώσεων. Παραδείγματα και εφαρμογές.
  6.   6η  Εβδομάδα:  Αριθμητικές συναρτήσεις. Ενελικτικό γινόμενο. Δομή του συνόλου των αριθμητικών συναρτήσεων. Ενελικτικά αντιστρέψιμες συναρτήσεις.  Παραδείγματα και Εφαρμογές.
  7.   7η  Εβδομάδα:  Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις. Τύπος αντιστροφής του Moebius. Οι συναρτήσεις μ, τ, σ, και η συνάρτηση φ του Euler.  Παραδείγματα και εφαρμογές.
  8.   8η  Εβδομάδα:  Βασικές ιδιότητες της  συνάρτησης του Euler και εφαρμογές. Τέλειοι αριθμοί, Φίλιοι αριθμοί, Πρώτοι του Mersenne, και πρώτοι του Fermat.
  9.   9η  Εβδομάδα:  Ισοτιμίες: βασικές  ιδιότητες και παραδείγματα. Ο δακτύλιος των κλάσεων υπολοίπων mod n. Πλήρη και αναγμένα συστήματα υπολοίπων mod n.
  10. 10η  Εβδομάδα:  Τα Θεωρήματα Euler, Fermat, Wilson. Εφαρμογές και παραδείγματα. Γραμμικές Ισοτιμίες. Επίλυση γραμμικών ισοτιμιών. Βασικά θεωρήματα, παραδείγματα  και εφαρμογές.
  11. 11η  Εβδομάδα:  Συστήματα Γραμμικών Ισοτιμιών. Επίλυση σύστημάτων γραμμικών ισοτιμιών. Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων και άλλα βασικά θεωρήματα. Παραδείγματα και εφαρμογές.
  12. 12η  Εβδομάδα:  Τάξεις στοιχείων και δείκτες: βασικές ιδιότητες και παραδείγματα. Πρωταρχικές Ρίζες.
  13. 13η  Εβδομάδα:  Ύπαρξη και πλήθος πρωταρχικών ριζών, βασικές ιδιότητες και παραδείγματα. Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία.
Γραπτή Εξέταση:  Η γραπτή εξέταση του μαθήματος θα πραγματοποιηθεί την:

                                                                                                                                           Παρασκευή  3 Φεβρουαρίου 2017,   ώρα: 09:00 - 12:00                                                                                          

Βιβλιογραφία και Χρήσιμοι Σύνδεσμοι


Σχετικά Βιβλία στη Βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών
 Χρήσιμοι Σύνδεσμοι    

(Ελεύθερα Βιβλία και Σημειώσεις Θεωρίας Αριθμών στο Διαδίκτυο)                
1.  Niven I., Zuckerman H.S. and Montgomery H.L. :  ''An Introduction to the Theory
of Numbers'',  5ed., Wiley, 1991).
 1.   L. Moser: "An Introduction to the Theory of Numbers"
2.  K.T. Rosen: ''Elementary Number Theory and its Applications'', 5ed. Pearson, (2005). 2.   V. Shoup: "A Computational Introduction to Number Theory and Algebra"
3.  J.H. Silverman: ''A friendly Introduction to Number Theory'', 4ed. Pearson, (2012). 3.   Γ. Αντωνιάδης: "Θεωρία Αριθμών κατά τον 17ο και 18ο Αιώνα"
4.  M.B. Nathanson: ''Elementary Methods in Number Theory'', Springer, (2000). 4.   Ν. Τζανάκης: "Θεμελιώδης Θεωρία Αριθμών"
5.  J.J. Tattersall: "Elementary Number Theory in Nine Chapters", CUP, (1999). 5.   Α. Γιαννόπουλος: "Θεωρία Αριθμών"
6.  G.A. Jones and J.M. Jones: ''Elementary Number Theory'', Springer, (1998). 6.   W. Clark: "Elementary Number Theory"
7.  H.M. Stark: ''An Introduction to Number Theory'', MIT Press, (1998). 7.   W. Stein: "Elementary Number Theory: Primes, Congruences and Secrets"
8.  P. Ribenboim: ''My Numbers, My Friends'',  Springer,  (2000).
 8.   W. Chen: "Elementary Number Theory"
9.  D. Burton: ''Elementary Number Theory'',  McGraw Hill, (2005).  9.   B. Ikenaga: "Notes on Elementary Number Theory"
10.  G. Everest and T. Ward: ''An Introduction to Number Theory'', Springer, (2006).
10.  M. Stoll: "Introductory Number Theory"
11.  D. Redmond: ''Number Theory: An Introduction'', CRC Press, (1996).
 11.  W. Stein: "An Explicit Approach to Number Theory"
12.  W.J. LeVeque: ''Elementary Theory of Numbers", Dover, (1990). 12.  L.-A. Lindahl: "Lectures on Number Theory"
13.  Δ. Δεριζιώτης: "Μια εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών" (Εκδόσεις Σοφία). 13.  P. Cameron: "A Course in Number Theory"


Τελευταία Τροποποίηση:   12 Ιανουαρίου 2017