121:  ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι

Ακαδημαϊκό Έτος  2019 - 2020

Γενικές Πληροφορίες

                                          Το εκπαιδευτικό υλικό το οποίο ακολουθεί αφορά το Τμήμα Β' (Αρχικό γράμμα επωνύμου: Λ-Ω)
Τμήμα Β'
Διδάσκων: Α. Μπεληγιάννης
Τρίτη:  9 -11,  Αίθουσα 012
Παρασκευή:  9-12,  Αίθουσα 012
  • Δ. Βάρσος- Δ. Δεριζιώτης - Γ. Εμμανουήλ - Μ. Μαλιάκας - Α. Μελάς- Ο. Ταλλέλη:  "Μια Εισαγωγή στη Γραμμική 'Aλγεβρα", Εκδόσεις Σοφία, (2012) -->  Ιστοσελίδα Συγγράμματος
  •   Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη - Χ. Χαραλάμπους - Χ. Βαβατσούλας:  "Γραμμική 'Aλγεβρα", Εκδόσεις Τζιόλα, (2017)  -->  Ιστοσελίδα Συγγράμματος
  1.   [30/9/2019]:  Σύμφωνα με τον Οδηγό Σπουδών του Τμήματος,  η έναρξη της διδασκαλίας του μαθήματος για το Τμήμα Β', θα πραγματοποιηθεί την Τρίτη 1 Οκτωβρίου 2019, ώρα: 9:00 στην αίθουσα 012.
  2. [11/10/2019]:  Αναρτήθηκε το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων  το οποίο περιέχει 72 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 36 αναλυτικά λυμένες,  και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  3.   [1/11/2019]: Αναρτήθηκε το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων  το οποίο περιέχει 76 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 38 αναλυτικά λυμένες,  και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  4.   [8/11/2019]: Αναρτήθηκε το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων  το οποίο περιέχει 66 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 33 αναλυτικά λυμένες,  και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  5. [22/11/2019]: Αναρτήθηκε το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων  το οποίο περιέχει 80 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 40 αναλυτικά λυμένες,  και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  6.   [3/12/2019]: Η αξιολόγηση του μαθήματος πταγματοποιείται ηλεκτρονικά στη διεύθυνση https://classweb.uoi.gr. Για περισσότερες πληροφορίες, βλέπε τον σύνδεσμο Αξιολογήσεις Μαθημάτων Χειμερινού Εξαμήνου Α. Ε. 2019-2020.
  7.   [5/12/2019]: Αναρτήθηκε το πέμπτο φυλλάδιο ασκήσεων  το οποίο περιέχει 67 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 30 αναλυτικά λυμένες,  και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  8. [12/12/2019]: Αναρτήθηκε το έκτο φυλλάδιο ασκήσεων  το οποίο περιέχει 51 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 25 αναλυτικά λυμένες,  και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  9. [20/12/2019]: Αναρτήθηκε το έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων  το οποίο περιέχει 76 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 38 αναλυτικά λυμένες,  και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  10.   [10/1/2020]: Αναρτήθηκε το όγδοο φυλλάδιο ασκήσεων  το οποίο περιέχει 35 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 15 αναλυτικά λυμένες,  και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
  11.   [17/1/2020]: Αναρτήθηκε το ένατο φυλλάδιο ασκήσεων  το οποίο περιέχει 40 ασκήσεις, εκ των οποίων οι 20 αναλυτικά λυμένες,  και μια πρόχειρη δοκιμασία με τη λύση της.
Βλέπε τους σχετικούς ιστότοπους:
Η Γραμμική Άλγεβρα θεωρείται από τους κλάδους των Μαθηματικών με τις περισσότερες εφαρμογές στις Επιστήμες.  Αναφέρουμε ενδεικτικά ότι η Γραμμική Άλγεβρα έχει ουσιαστικές εφαρμογές σχεδόν σε όλες τις θετικές επιστήμες (Φυσική, Μηχανική, κλπ.), καθώς και στις οικονομικές και κοινωνικές επιστήμες. Ο λόγος για τον οποίο η Γραμμική Άλγεβρα έχει σημαντικό πεδίο εφαρμογών είναι ότι με τις μεθόδους της μπορούμε να επιλύσουμε σχετικά εύκολα προβλήματα γραμμικής φύσης τα οποία μοντελοποιούν διακεκριμένα προβλήματα διάφορων επιστημονικών κλάδων.  Επιπρόσθετα μπορούμε να προσεγγίσουμε ικανοποιητικά και διάφορα μη-γραμμικά προβλήματα.
 
Το μάθημα αποσκοπεί στην εισαγωγή των βασικών εννοιών, ιδιοτήτων και μεθόδων της Γραμμικής Άλγεβρας. Ιδιαίτερα στο μάθημα θα αναλυθεί η θεωρία γραμμικών συστημάτων, η θεωρία πινάκων και οριζουσών, και σε περισσότερο γενικό πλαίσιο η βασική θεωρία διανυσματικών χώρων και γραμμικών απεικονίσεων.  Το μάθημα έχει δύο συνιστώσες:  η πρώτη  συνιστώσα είναι υπολογιστική, δηλαδή η  ανάπτυξη δεξιοτήτων υπολογισμού στα διάφορα πλαίσια του μαθήματος,  και η δεύτερη συνιστώσα είναι η θεωρητική, δηλαδή η ανάπτυξη θεωριών οι οποίες παρέχουν το αναγκαίο θεωρητικό υπόβαθρο στις μεθόδους υπολογισμού.  

Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα,  να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων και , και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς.
"If you can reduce a mathematical problem to a problem in Linear Algebra, you can most likely solve it, provided that you know enough Linear Algebra"
Peter Lax  -  Βραβείο Abel 2005
Ασκήσεις Προς Λύση      
Προτεινόμενες Ασκήσεις Προς Λύση
     1.   [11/10/2019]   -->  1o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση                                                                                      1.   [11/10/2019]   -->  1ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων                                                                                             
     2.     [1/11/2019]   -->  2o  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     2.     [1/11/2019]    -->  2ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     3.     [8/11/2019]   -->  3ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     3.     [8/11/2019]    -->  3ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     4.   [22/11/2019]   -->  4ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     4.   [22/11/2019]    -->   4ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     5.     [6/12/2019]   -->  5ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     5.     [6/12/2019]    -->   5ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     6.   [13/12/2019]   -->  6ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     6.   [13/12/2019]   -->    6ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     7.   [20/12/2019]   -->  7ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     7.   [20/12/2019]    -->   7ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     8.     [10/1/2020]   -->  8ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     8.     [10/1/2020]    -->   8ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων
     9.     [17/1/2020]   -->  9ο  Φυλλάδιο Ασκήσεων προς Λύση     9.     [17/1/2020]    -->   9ο  Φυλλάδιο Προτεινόμενων Ασκήσεων

  1.   [11/10/2019]   -->  Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 1 
  2.     [1/11/2019]   -->  Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 2
  3.     [8/11/2019]   -->  Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 3
  4.   [22/11/2019]   -->  Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 4
  5.     [6/12/2019]   -->  Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 5  
  6.   [13/12/2019]   -->  Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 6     
  7.   [20/12/2019]   -->  Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 7
  8.     [10/1/2020]   -->  Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 8
  9.     [17/1/2020]   -->  Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 9
  1.   [11/10/2019]   -->  Πρόχειρη Δοκιμασία 1   &   Λύση
  2.     [1/11/2019]   -->  Πρόχειρη Δοκιμασία 2   &   Λύση
  3.     [8/11/2019]   -->  Πρόχειρη Δοκιμασία 3   &   Λύση
  4.   [22/11/2019]   -->  Πρόχειρη Δοκιμασία 4   &   Λύση
  5.     [6/12/2019]   -->  Πρόχειρη Δοκιμασία 5   &   Λύση 
  6.   [13/12/2019]   -->  Πρόχειρη Δοκιμασία 6   &   Λύση   
  7.   [20/12/2019]   -->  Πρόχειρη Δοκιμασία 7   &   Λύση 
  8.     [10/1/2020]   -->  Πρόχειρη Δοκιμασία 8   &   Λύση 
  9.     [17/1/2020]   -->  Πρόχειρη Δοκιμασία 9   &   Λύση 
                                                                                                       Δευτέρα   10  Φεβρουαρίου  2020,  ώρα:  09:00 - 12:00                                                                 
  1. Η 'Aλγεβρα των mxn πινάκων και εφαρμογές.
  2. Θεωρία Οριζουσών. 
  3. Υπολογισμός αντιστρόφου αντιστρεψίμου πίνακα.. 
  4. Κλιμακωτοί και ισχυρά κλιμακωτοί πίνακες. Βαθμίδα πίνακα.   
  5. Γραμμικά συστήματα και εφαρμογές.
  6. Διανυσματικοί χώροι.
  7. Γραμμικές απεικονίσεις. 
  8. Ο χώρος L(E,F) των γραμμικών απεικονίσεων. 
  9. Υπόχωροι.
  10. Βάσεις. 
  11. Διάσταση.
  12. Βαθμίδα γραμμικής απεικόνισης και βαθμίδα πίνακα. Η μέθοδος των ελασσόνων οριζουσών. 
  13. Θεμελιακή εξίσωση διάστασης και οι εφαρμογές της. Διάσταση αθροίσματος υπόχωρων. Κριτήριο Συμβιβαστότητας, και εφαρμογές στην επίλυση γενικών Γραμμικών Συστημάτων. 
  14. Πίνακας γραμμικής απεικόνισης. 
  15. Πίνακας αλλαγής βάσης. 
  16. Ο ισομορφισμός L(E,F) ≈ Mmxn(K).
  17. Ισοδύναμοι πίνακες  και όμοιοι πίνακες.
  18. Ορίζουσα ενός ενδομορφισμού.
  1. 1η   Εβδομάδα:  Ιστορικά στοιχεία και πληροφοριακό υλικό σχετικά με το μάθημα. Εισαγωγή στους Πίνακες. Η 'Aλγεβρα των πινάκων (πράξεις επί πινάκων και βασικές ιδιότητες). Τύποι πινάκων. Παραδείγματα.
  2. 2η   Εβδομάδα:  Ανάστροφος ενός πίνακα. Ίχνος πίνακα. Αντιστρέψιμοι πίνακες. Εισαγωγή στην Θεωρία Οριζουσών.
  3. 3η   Εβδομάδα:  Ορίζουσες. Ορισμός και Βασικές Ιδιότητες. Μέθοδοι υπολογισμού οριζουσών, και αντιστρόφου ενός αντιστρέψιμου πίνακα.
  4. 4η   Εβδομάδα:  Αντιστρέψιμοι πίνακες. Συμπληρωματικός πίνακας. Πράξεις επί γραμμών, κλιμακωτοί και ισχυρά κλιμακωτοί πίνακες.
  5. 5η   Εβδομάδα:  Γραμμικά Συστήματα. Συστήματα Cramer. Επίλυση γραμμικών συστημάτων με την μέθοδο απαλοιφής του Gauss. Εισαγωγή στη θεωρία διανυσματικών χώρων.
  6. 6η   Εβδομάδα:  Διανυσματικοί Χώροι: Βασικές έννοιες και Παραδείγματα. Υπόχωροι. Ορισμός και παραδείγματα.
  7. 7η   Εβδομάδα:  Γραμμικοί Συνδυασμοί και υπόχωροι παραγόμενοι από σύνολα διανυσμάτων. Πεπερασμένα παραγόμενοι διανυσματικοί χώροι. Γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων. 
  8. 8η   Εβδομάδα:  Η έννοια της βάσης και της διάστασης. Βασικά Θεωρήματα και παραδείγματα. Διάσταση υπόχωρων. 
  9. 9η   Εβδομάδα:  Διάσταση αθροίσματος υπόχωρων. Αλλαγή Βάσης και πίνακας μετάβασης. Διανυσματικοί χώροι πολυωνύμων.
  10. 10η Εβδομάδα:  Γραμμικές απεικονίσεις. Βασικές ιδιότητες και παραδείγματα. Πυρήνας και εικόνα γραμμικής απεικόνισης. Μονομορφισμοί, επιμορφισμοί, και ισομορφισμοί. Θεώρημα γραμμικής επέκτασης. 
  11. 11η Εβδομάδα:  Η Θεμελιώδης Εξίσωση Διαστάσεων και οι εφαρμογές της.  Βαθμίδα πίνακα και γραμμικής απεικόνισης. Κριτήρια εύρεσης βαθμίδας. 
  12. 12η Εβδομάδα:  Κριτήρια εύρεσης βαθμίδας. Εφαρμογές στην επίλυση γραμμικών συστημάτων: επίλυση ενός γενικού γραμμικού συστήματος. 
  13. 13η Εβδομάδα:  Πίνακας γραμμικής απεικόνισης. Ο ισομορφισμός  Ο ισομορφισμός L(E,F) ≈ Mmxn(K) και η άλγεβρα των γραμμικών απεικονίσεων. Αλλαγή βάσης και ισοδύναμοι πίνακες. Όμοιοι πίνακες και ορίζουσα ενδομορφισμού.
  1.  Σχετικά Βιβλία στη Βιβλιοθήκη του Τμήματος                                                           
       Μαθηματικών                                                  
   2.   Χρήσιμοι Σύνδεσμοι 

(Ελεύθερα Βιβλία και Σημειώσεις Αφηρημένης Άλγεβρας στο διαδίκτυο, σε διάφορα επίπεδα δυσκολίας)
S. Lang: ''Introduction to Linear Algebra'',  Springer-Verlag, (1986).   
                  "Linear Algebra", Springer-Verlag (1987).		   1.  http://linear.ups.edu/download.html
L. Smith: ''Linear Algebra'', Springer-Verlag, (1978).   2.  http://www.numbertheory.org/book/
R. Kaye, R. Wilson: ''Linear Algebra'', Oxford University Press, (1998).   3.  http://www.math.hawaii.edu/%7Elee/linear/index.html
 O. Bretscher: ''Linear Algebra with Applications'', Prentice Hall, (2001).   4.  http://www.math.brown.edu/%7Etreil/papers/LADW/LADW.html
R. Larson, B. Edwards: ''Elementary Linear Algebra'', Heath, (1996).   5.  http://www.math.miami.edu/%7Eec/book/
C. Curtis: ''Linear Algebra: an introductiory approach'', Springer-Verlag, (1984).
   6.  http://euclid.ucc.ie/Mckay/linear-algebra/LinearAlgebra.pdf
W. Greub: ''Linear Algebra'', Springer, (1967).
   7.  http://shell.cas.usf.edu/~wclark/Elem_abs_alg.pdf
I. Herstein, and D. Winter: ''Matrix Theory and Linear Algebra'', Macmillan, (1988).   8.  http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/lnlafolder/lnla.html
I. Gelfand: ''Lectures on Linear Algebra'', Interscience, (1961).
  9.  http://linear.axler.net
J. Munkres: ''Elementary Linear Algebra'', Addison-Wesley, (1964).  10. http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/
K. Hoffman, and R. Kunze: ''Linear Algebra", Prentice-Hall, (1965).
  11. https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm


Τελευταία Τροποποίηση:   10  Ιανουαρίου  2020